无限大真空中自由电子k可取连续值周期性边界条件自由电子气k取分离值索末菲模型自由电子费米气泡利不相容费米分布S-方程周期势场微扰近自由电子模型晶体中电子与自由电子的区别在于周期边界条件和周期势场。如果假设晶体中有一个很弱的周期势场,则电子的运动情况应当与自由电子比较接近,但同时也必然能体现出周期势场中电子状态的新特点,这样的电子就叫近自由电子。近自由电子哈密顿算符可写成:其中是自由电子的哈密顿算符;后用或两边取共轭∵周期场是实的V(x)=V※(x)∴VGn※=V-GnV※n=V-,定态薛定谔方程(k,r)=E(k)(k,r)的解是E(k)=E(0)(k)+E(1)(k)+E(2)(k)+…(k,r)=(0)(k,r)+(1)(k,r)+…零级近似解,就是自由电子的解:(0)(k,r)=由量子力学理论可知,一级修正和二级修正分别为 E(1)(k)=H’kk=(k,r)V(r)(0)(k,r)dr==0由平面波的正交归一性其中微扰矩阵元Hkk’=(0〕※(k,r)V(r)(0)(k’,r)dr后用交换求和次序∴E(k)=E(0)(k)+E(2)(k)其中ψ(k,r)=ψ(0)(k,r)+ψ(1)(k,r)
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