ch5定积分.doc

教学目的:理解定积分的概念。掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握定积分的换元积分法与分部积分法。理解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点:定积分的性质及定积分中值定理定积分的换元积分法与分部积分法。牛顿—莱布尼茨公式。教学难点:定积分的概念积分中值定理定积分的换元积分法分部积分法。变上限函数的导数。§、:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形,:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形,每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替,每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积,:在区间[a,b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<x2<×××<xn-1<xn=b,把[a,b]分成n个小区间[x0,x1],[x1,x2],[x2,x3],×××,[xn-1,xn],它们的长度依次为Dx1=x1-x0,Dx2=x2-x1,×××,Dxn=xn-xn-,[xi-1,xi]上任取一点xi,以[xi-1,xi]为底、f(xi)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1,2,×××,n),把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即A»f(x1)Dx1+f(x2)Dx2+×××+f(xn):显然,分点越多、每个小曲边梯形越窄,所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值,因此,要求曲边梯形面积A的精确值,只需无限地增加分点,=max{Dx1,Dx2,×××,Dxn},于是,上述增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零,相当于令l®,已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]上t的连续函数,且v(t)³0,:我们把时间间隔[T1,T2]分成n个小的时间间隔Dti,在每个小的时间间隔Dti内,物体运动看成是均速的,其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点xi的速度v(ti),物体在时间间隔Dti内运动的距离近似为DSi=v(ti)[T1,T2]:在时间间隔[T1,T2]内任意插入若干个分点T1=t0<t1<t2<×××<tn-1<tn=T2,把[T1,T2]分成n个小段[t0,t1],[t1,t2],×××,[tn-1,tn],各小段时间的长依次为Dt1=t1-t0,Dt2=t2-t1,×××,Dtn=tn-tn-,在各段时间内物体经过的路程依次为DS1,DS2,×××,[ti-1,ti]上任取一个时刻ti(ti-1<ti<ti),以ti时刻的速度v(ti)来代替[ti-1,ti]上各个时刻的速度,得到部分路程DSi的近似值,即DSi=v(ti)Dti(i=1,2,×××,n).于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值,即;求精确值:记l=max{Dt1,Dt2,×××,Dtn},当l®0时,取上述和式的极限,=f(x)在区间[a,b]上非负、=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a=x0<x1<x2<×××<xn-1<xn=b把区间[a,b]分成n个小区间:[x0,x1],[x1,x2],[x2,x3],×××,[xn-1,xn],记Dxi=xi-xi-1(i=1,2,×××,n).(2)任取xiÎ[xi-1,xi],以[xi-1,xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为(i=1,2,×××,n);所求曲边梯形面积A的近似值为.(3)记l=max{Dx1,Dx2,×××,Dxn},,已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]上t的连续函数,且v(t)³0,计算在这段时间内物体所经过的路程S.(1)用分点T1=t0<t1<t2<×××<tn-1<tn=T2把时间间隔[T1,T2]分成n个小时间段:[t0,t1],[t1,t2],×××,[tn-1,tn],记Dti=ti-ti-1(i=1,2,×××,n).(2)任取tiÎ[ti-1,ti],在时间段[ti-1,ti]内物体所