函数单调性的判断或证明方法.doc

。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值,设,且;②作差,求;③变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)向有利于判断差值符号的方向变形;④定号,判断的正负符号,当符号不确定时,应分类讨论;⑤下结论,根据函数单调性的定义下结论。(-1,+∞)上的单调性,:设-1<x1<x2,蒃则f(x1)-f(x2)=-羁=芀=袆∵-1<x1<x2,膃∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>∴当a>0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),莈∴函数y=f(x)在(-1,+∞)<0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),羄∴函数y=f(x)在(-1,+∞);在上为减函数。(增两端,减中间)螀证明:设,则蚅因为,所以,蚄所以,袁所以衿所以肄蒄设羃则,羇因为,螈所以,膅所以螀所以荿同理,①在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.(增+增=增;减+减=减;增-减=增,减-增=减)螁②③④函数二者有相反的单调性。莁⑤运用已知结论,直接判断函数的单调性,如一次函数、反比例函数等。袃袀(3)。。膂解:(4)复合函数法.(步骤:①求函数的定义域;②分解复合函数;③判断内、外层函数的单调性;④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间,则便是原复合函数的一个单调区间,如例4;若不是内层函数的一个单调区间,则需把划分成内层函数的若干个单调子区间,这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间,如例5.)肇设,,都是单调函数,则在上也是单调函数,其单调性由“同增异减”来确定,即“里外”函数增减性相同,复合函数为增函数,“里外”函数的增减性相反,复合函数为减函数。如下表:;膇易知是外层函数的单调增区间;莆令,解得的取值范围为;莅由于是内层函数的一个单调减区间,于是便是原函数的一个单调区间;薂根据复合函数“同增异减”的复合原则知,是原函数的单调减区间。;肅易知和都是外层函数的单调减区间;荿令,解得的取值范围为;蚈结合二次函数的图象可知不是内层函数的一个单调区间,但可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和,其中是其单调减区间,是其单调增区间;膄于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知,是原函数的单调增区间,是原函数的单调减区间。袅同理,令,可求得是原函数的单调增区间,是原函数的单调减区间。莀综上可知,原函数的单调增区间是和,(5)(先分离常数,即对函数的解析式进行变形,找到基本函数的类型,再分类讨论.)节解:由题意得原函数的定义域为,蒂当上为减函数;膈当上为增函数。莇(6)抽象函数的单调性.(抽象