求数列通项公式的11种方法.doc

罿求数列通项公式的11种方法方法膆总述::羇累加法、螅累乘法、肂待定系数法、膆阶差法(逐差法)、膄迭代法、芃对数变换法、螁倒数变换法、芆换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、薅数学归纳法(少用)羅不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比数列。:累加法和累乘法。,其定义域是自然数集的一个函数。螀一、:----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。,莁则螀两边分别相加得螇例1已知数列满足,求数列的通项公式。薂解:由得则膀所以数列的通项公式为。袀例2已知数列满足,求数列的通项公式。袄解法一:由得则芄所以罿解法二:两边除以,得,罿则,故芅因此,,:,,:裂项求和蚆评注:已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;螁②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;腿③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;肇④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。,且,:由已知得,艿化简有,由类型(1)有,芄又得,所以,又,,、累乘法蚄1.○。------------
适用于:----------这是广义的等比数列肁累乘法是最基本的二个方法之二。,则荿两边分别相乘得,肅例4已知数列满足,求数列的通项公式。螃解:因为,所以,则,,且(=1,2,3,…),则它的通项公式是=:已知等式可化为:芁()(n+1),即衿时,蕿==.袇评注:本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,,求数列{an}:-:本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为羄若令,则问题进一步转化为形式,、待定系数法适用于蚁基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。,其中)型莅(1)若c=1时,数列{}为等差数列;膃(2)若d=0时,数列{}为等比数列;莀(3)若时,数列{}为线性递推数列,:设,螆得,与题设比较系数得袅,所以所以有:腿因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,羈所以即:.膇规律:将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式节逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型(1),,求数列的通项公式。羈解法一:芃又是首项为2,公比为2的等比数列肄,即羀解法二:肈两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的……,求通项。螆答案::(其中q是常数,且n0,1)蒂①若p=1时,即:,②若时,即:,蒈求通项方法有以下三种方向::,令,则,然后类型1,。螀即:,袆令,,:,求出,:应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。蚈例7已知数列满足,求数列的通项公式。薄解法一(待定系数法):设,比较系数得,蚁则数列是首项为,公比为2的等比数列,莈所以,即肆解法二(两边同除以):两边同时除以得:,下面解法略莃解法三(两边同除以):两边同时除以得:,下面解法略螁练习.(2003天津理)蝿设为常数,