高中-数学复数讲义.教师版.doc

高中-数学复数讲义.教师版.doc复数知识内容一、复数的概念虚数单位i:(1)它的平方等于,即;(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.(3)i与-1的关系:i就是的一个平方根,即方程的一个根,方程的另一个根是-i.(4)i的周期性:,,,.数系的扩充:复数复数的定义:形如的数叫复数,叫复数的实部,,用字母表示复数的代数形式:通常用字母表示,即,把复数表示成的形式,、虚数、纯虚数及的关系:对于复数,当且仅当时,复数是实数;当时,复数叫做虚数;当且时,叫做纯虚数;当且仅当时,就是实数复数集与其它数集之间的关系:两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,,如果,,,,那么,二、复数的几何意义复平面、实轴、虚轴:,纵坐标是,复数可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,轴叫做实轴,..对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为,,,、复数的四则运算复数与的和的定义:复数与的差的定义:复数的加法运算满足交换律:复数的加法运算满足结合律:乘法运算规则:设,(、、、)是任意两个复数,那么它们的积其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把换成,:(1)(2)(3)复数除法定义:满足的复数(、)叫复数除以复数的商,记为:或者除法运算规则:设复数(、),除以(,),其商为(、),即∵∴由复数相等定义可知解这个方程组,得于是有:②利用于是将的分母有理化得:原式.∴(点评:①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法,而复数与复数,相当于我们初中学习的的对偶式,它们之积为是有理数,:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。),那么实数a,b的值分别为(),5B.-3,1C.-,【答案】D计算:(表示虚数单位)【答案】∵,而(),故设,,则下列命题中一定正确的是( )【答案】,正确命题的个数为( )①两个复数不能比较大小;②若是纯虚数,则实数;③是虚数的一个充要条件是;④若是两个相等的实数,则是纯虚数;⑤的一个充要条件是.⑥ 【答案】B复数为实数时,可以比较大小,①错;时,,②错;为实数时,也有,③错;时,,④错;⑤⑥(,为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于() 【答案】A由已知在复平面对应点如果在第一象限,则,,复数在复平面内所对应的点在()【答案】B结合正、余弦函数的图象知,当时,.如果复数满足,那么的最小值是() B. D.【答案】A设复数在复平面的对应点为,因为,所以点的集合是轴上以、,().【答案】D复数表示的点在单位圆与直线上(表示到点与点的距离相等,故轨迹为直线),,则的最大值为_______.【答案】,,故在以为圆心,为半径的圆上,表示圆上的点