自考高数一电子书.doc

蒁Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse莇肄节莆函数、极限与连续羇蒈莄教学过程蒆蚂袃§1--1初等函数螈芆衿基本初等函数薄肁莈我们把幂函数y=xa(aÎR)、指数函数y=ax(a>0且a¹1)、对数函数y=logax(a>0且a¹1)、三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx和反三角函数y=arcsinx,y=osx,y=arctanx,y==anxn+an-1xn-1+...+a1x+=f(u),而u又是x的函数u=j(x),且j(x)的值域与y=f(u)的定义域的交非空,那么,y通过中间变量u的联系成为x的函数,我们把这个函数称为是由函数y=f(u)与u=j(x)复合而成的复合函数,记作y=f[j(x)].芈荿蚀学习复合函数有两方面要求:一方面,会把几个作为中间变量的函数复合成一个函数,这个复合过程实际上是把中间变量依次代入的过程;另一方面,会把一个复合函数分解为几个较简单的函数,=lnu,u=x2,=lnu=lnx2,xÎ(-¥,0)È(0,+¥).膃蚃蚂例2设y=u2,u=tanv,v=,=u2=tan2v==esinx是由哪些简单函数复合而成的?蚄薂肁解令u=sinx,则y=eu,故y=esinx是由y=eu,u==tan3(2lnx+1)是由哪些初等函数复合而成的?螂羁芈解令u=tan(2lnx+1),则y=u3;再令v=2lnx+1,则u==tan3(2lnx+1)是由y=u3,u=tanv,v=2lnx+,经过有限次四则运算和有限次复合而成的,并且能用一个式子表示的函数,:=sin(1+3x2),得y=eu;再令v=1+3x2,得u==eu,u=sinv,v=1+3x2复合而成的螄羃膆定义3设a,,>0,数集x||x-a|<,xR,即实数轴上和a点的距离小于的点的全体,称为点a的邻域,记作U(a,),(a)|0<|x-a|<,xR,称为点的空心邻域,(a,)=(a-,a+),袂莂莀小结莈袆肇作业芅螁膈§1--2极限膈羈袄数列的极限莃膁肃两个数列:衿螅螈(1)螆蚀羅(2)(1)中的项无限趋近于0,数列(2){an}的项数n无限增大时,如果an无限地趋近于一个确定的常数A,那么就称这个数列存在极限A,记作=“当n趋向于无穷大时,an的极限等于A”.符号“”表示“趋向于”,“¥”表示“无穷大”,“n®¥”表示“n无限增大”.有时也记作当n®¥时,an®A,或an®A,(n®¥).莁薅蒃若数列{an}存在极限,也称数列{an}收敛;若数列{an}没有极限,则称数列{an}:(1)一个数列有无极限,应该分析随着项数的无限增大,数列中相应的项是否无限趋近于某个确定的常数,如果这样的数存在,那么这个数就是所论数列的极限,(2):莅薃蒀(1)x的绝对值|x|无限增大(记作x®¥);芈蒅蒈(2)x无限接近于某一值x0,或者说x趋向于x0(记作x®x0).®¥时函数f(x)的极限聿薇羃x®¥包含以下两种情况:袅蒂蒂(1)x取正值,无限增大,记作x®+¥;蝿蚈薆(2)x取负值,它的绝对值无限增大(即x无限减小),记作x®-¥.羄袁莇若x不指定正负,只是|x|无限增大,则写成x®¥.蕿莆蚄莆芁艿1芀蒇罿x蒄蚀螆y肀薈蒄O薃莄莀1例1讨论函数+1当x®+¥和x®-¥+®+¥和x®-¥时,+1®1,因蒁莇羁此当x®¥时,+1®|x|无限增大(即x®¥)时,函数f(x)无限羇蝿荿地趋近于一个确定的常数A,那么就称f(x)当x®¥时存螇羃蚅在极限A,称数A为当x®¥时函数f(x)的极限