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函数、极限与连续
教学过程
§1--1 初等函数
基本初等函数
我们把幂函数y=xa(aÎR)、指数函数y=ax(a>0且a¹1)、对数函数y=logax(a>0且a¹1)、三角函数y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y=secx, y=cscx和反三角函数y=arcsinx, y=osx, y=arctanx, y==anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0看作基本初等函数.
复合函数
定义1 如果y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=j(x),且j(x)的值域与y=f(u)的定义域的交非空,那么,y通过中间变量u的联系成为x的函数,我们把这个函数称为是由函数y=f(u)与u=j(x)复合而成的复合函数,记作y=f[j(x)].
学习复合函数有两方面要求:一方面,会把几个作为中间变量的函数复合成一个函数,这个复合过程实际上是把中间变量依次代入的过程;另一方面,会把一个复合函数分解为几个较简单的函数,这些较简单的函数往往是基本初等函数或是基本初等函数与常数的四则运算所得到的函数.
例1 已知y=lnu, u=x2,试把y表示为x的函数.
解 y=lnu=lnx2, xÎ(-¥,0)È(0,+¥).
例2 设y=u2, u=tanv, v=,试把y表示为x的函数.
解 y=u2=tan2v=tan2.
复合函数的中间变量可以不限于一个.
例3 函数y=esinx是由哪些简单函数复合而成的?
解令u=sinx,则y=eu,故y=esinx是由y=eu, u=sinx复合而成的.
例4 函数y=tan3(2lnx+1)是由哪些初等函数复合而成的?
解令u=tan(2lnx+1),则y=u3;再令v=2lnx+1,则u=tanv.
故y=tan3(2lnx+1)是由y=u3, u=tanv, v=2lnx+1复合而成的.
初等函数
定义2 由常数和基本初等函数,经过有限次四则运算和有限次复合而成的,并且能用一个式子表示的函数,:

等都是初等函数.
例5 分解.
解令u=sin(1+3x2),得y=eu;再令v=1+3x2,得u=sinv.
故是由y=eu, u=sinv, v=1+3x2复合而成的
定义3 设a,, >0,数集 x| |x-a|< ,x R,即实数轴上和a点的距离小于的点的全体,称为点a的邻域,记作U(a,),(a)|0<|x-a|<,x R ,称为点的空心邻域,记作.
U(a,)=(a-,a+),
小结
作业
§1--2 极限
数列的极限
两个数列:
(1)
(2)
在数轴上表示.
O
x
O
x








1
1

数列(1)中的项无限趋近于0,数列(2)中的项无限趋近于1.
定义 1 当数列{an}的项数n无限增大时,如果an无限地趋近于一个确定的常数A,那么就称这个数列存在极限A,记作=“当n趋向于无穷大时,an的极限等于A”.符号“”表示“趋向于”,“¥”表示“无穷大”,“n®¥”表示“n无限增大”.有时也记作当n®¥时,an®A,或an®A, (n®¥).
若数列{an}存在极限,也称数列{an}收敛;若数列{an}没有极限,则称数列{an}发散.
注意:(1)一个数列有无极限,应该分析随着项数的无限增大,数列中相应的项是否无限趋近于某个确定的常数,如果这样的数存在,那么这个数就是所论数列的极限,否则数列的极限就不存在.
(2)常数数列的极限都是这个常数本身.
函数的极限
自变量x的变化过程:
(1)x的绝对值|x|无限增大(记作x®¥);
(2)x无限接近于某一值x0,或者说x趋向于x0 (记作x®x0).
®¥时函数f(x)的极限
x®¥包含以下两种情况:
(1)x取正值,无限增大,记作x®+¥;
(2)x取负值,它的绝对值无限增大(即x无限减小),记作x®-¥.
若x不指定正负,只是|x|无限增大,则写成x®¥.
1
x
y
O
1
例1 讨论函数+1当x®+¥和x®-¥时的变化趋势.
解作出函数+1的图像.
当x®+¥和x®-¥时,+1®1,因
此当x®¥时,+1®1.
定义如果当|x|无限增大(即x®¥)时,函数f(x)无限
地趋近于一个确定的常数A,那么就称f(x)当x®¥ 时存
在极限A,称数A为当x®¥时函数f(x)的极限,记作
类似地,如果当x®+¥(或x®-¥)时,