矩阵初等变换及其应用.doc

,线性方程组是许多问题的数学模型,因此,线性方程组的求解问题十分重要,本章将研究更一般的线性方程组的求解问题。蚇一、矩阵的初等变换肆用消元法求解简单线性方程组时,其消元步骤是对方程组施以下列变换:膂(i)对调某两个方程在方程组中的位置;蚀(ii)以数乘某一方程的两端;罿(iii),:蒈(i) 对调两行(对调两行,记作);肇(ii) 以数乘某一行中的所有元素(第行乘,记作);羅(iii) 把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去(第行的倍加到第行上,记作).蚃把定义中的行换成列,,,就称矩阵A与B等价,记作A~,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换:变换的逆变换就是其本身;变换的逆变换为(或记作);变换的逆变换为(或记作).莃矩阵的等价关系满足以下三个性质:薁(i) 自反性:A~A;薈(ii) 对称性:若A~B,则B~A;袄(iii) 传递性:若,,,,,可以将矩阵化简,例如莈蚆芃上式中最后一个矩阵称为行阶梯形矩阵,它的特点是:可以画出一条阶梯线,每个阶梯只有一行,阶梯线下方的元素全是零,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零,,还可以化为更简单的形式:袄葿聿上式中最后一个行阶梯矩阵具有下述特点:非零行向量的第一个元素为1,,它有着广泛的应用,任意一个矩阵A经过初等行变换都可化为行阶梯形矩阵及行最简形矩阵莀二、:莆(i)对调两行(或对调两列)肁把单位阵中第两行对调(),得初等方阵芈芆(ii)以数乘某行(或某列)螅以数乘单位阵的第行(),得初等方阵袁荿(iii)以数乘某行(列)加到另一行(列)上去蚈以乘的第行加到第行上(),得初等方阵芅薂用阶初等方阵左乘矩阵得莁螆其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换:把A的第行与第行对调();类似地可以验证:以左乘矩阵A,其结果相当于以数乘A得第行();以左乘矩阵A,其结果相当于把A的第行乘加到第行上().蚄综上所述,,对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的阶初等方阵;对A施行一次初等列变换,,对矩阵A进行一系列的初等行变换,、利用初等行变换求逆矩阵肃定理2设A为可逆方阵,,由定理1知,存在初等方阵,使得芀,,注意到初等方阵的可逆性,得,即U是可逆的,所以U是单位矩阵E,,莁和表明:当一系列初等行变换将矩阵A化为单位阵E时,那么经过这同一系列的初等行变换就将单位阵E化为了,,