相似矩阵及二次型.doc

蚇章节节5莃课题蚈相似矩阵及二次型肅计划课时数莅14蒃授课班级聿04级计算机系专升本10-13螇教学目的肄理解空间度量性质的引入、掌握schmidt正交化方法;特征值与特征向量及其求法,矩阵的相似关系;特征值与特征向量及其求法,矩阵的相似关系;对称矩阵的对角化、二次型及其标准化方法;蒃教学重点蒀度量性质、schmidt正交化;特征值与特征向量及其求法,矩阵的相似关系及相似对角化;对称矩阵的对角化、二次型及其标准化;芅教学难点袃相似对角化薂教学方法和手段袁讲授、习题、答疑羇备注袆蚂教学内容羈批注虿§1 向量的内积、长度及正交性蚅一、向量的内积螂1、定义:设有维向量荿令,称为向量与的内积。膇内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数,用矩阵记号表示表示,当与都是列向量时,有蒄2、内积的性质(其中为维向量,是实数)袂(iv)当时,;当时,螀3、向量的单位化袈定义:令膃称为维向量的长度(或范数)羂当时,称为单位向量。膁向量长度的性质:莆非负性当,;当;芅齐次性;肂莇教学内容肈批注羄三角不等式肂二、向量的夹角螈定义:当时,蒆称为维向量与的夹角。螃三、向量的正交性膂1、定义:,则称和正交腿2、定义:如果个维向量两两正交,即膈,则称向量组为正交向量组,简称正交组。螆3、为正交向量组,也称为单位正交向量组或标准正交组。芁4、正交向量组的性质薀定理:设是正交向量组,则线性无关。(证明略)蚆问题:线性无关的向量组是否为正交组?薅四、向量的正交规范化莁公式:设为线性无关的向量组,令羁莈教学内容莄批注蒁为正交组肈再将单位化,即得到单位正交向量组。袆五、正交矩阵肃1、定义:如果阶矩阵满足,那么称为正交矩阵,简称正交阵。薁2、性质葿(1)若为阶正交阵薇(2)若为阶正交阵与也是正交矩阵。膆(3)若为阶正交阵与也是正交矩阵。蚁3、正交矩阵的判定(用定义,书上的例子说明)衿§2方阵的特征值与特征向量羅1、定义:设是阶矩阵,如果数和维非零列向量使关系式羄成立,那么称数称为矩阵的特征值,非零向量称为蚁的对应于特征值的特征向量。芀注意:特征向量为非零向量!螇2、矩阵的特征值与特征向量的求法蚃螁教学内容蚁批注膅是方程组的非零解螆满足的数为特征值;袁方程组的非零解为特征向量(或基础解系)螈例1:求矩阵的特征值与特征向量袇解:蒅经试根知,2是一个根。故羀(下面求特征向量)艿对蕿为属于特征值2的线性无关的特征向量;其全部特征向量为芄肀教学内容蚀批注肇3、,求方程组的基础解系;即得到属于这个特征值的线性无关的特征向量。膀4、特征值的求法公式:设为的特征值,则肁为的特征值;蝿为的特征值;肆为的特征值;芀为的特征值(可逆)膈为的特征值;(可逆)芆为的特征值;。袅5、特征值与矩阵的关系公式:是的特征值,则:芀薈教学内容羈批注薃--------------在求行列式时使用。蚄(证明略)罿例题:,-3,求及,的特征值。莆例题:设三阶方阵的特征值为1,-1,2,求。蚆6、特征值与特征向量的性质:螄性质:阶矩阵的相异特征值所对应的特征向量线性无关莀证:用数学归纳法。膈推论:若,,…,是方阵A的不同的特征值,而莅是属于特征值的线性无关的特征向量,§3相似矩阵薆1、定义:设A和B都是n阶方阵,若存在n阶可逆阵P,膄使成立,则称