构造辅助函数在不等式证明中的应用.doc

构造辅助函数在不等式证明中的应用.doc构造辅助函数在不等式证明中的应用【摘要】构造法是高等数学中常用的分析技巧,尤其在不等式的证明中起到很重要的作用,本文通过分析,并且应用实例来说明构造辅助函数在不等式证明中的应用.【关键词】辅助函数;不等式;单调性;中值定理;凹凸性;泰勒公式不等式的证明没有固定的模式可以套用,它的方法灵活多样,技巧性强,综合性高,其中通过适当的构造辅助函数来证明不等式,:一、利用单调性证明f(X)〉g(X)要证:在(a,b)内,有f(x)〉g(x),需要设辅助函数F(x)=f(x)_g(x).例1设xE(0,1),证明(1+x)ln2(1+x)g(x)作辅助函数F(x)=f(x)_g(x),具有F(a)=F(b)=0与F〃(x)0,即f(x)〉g(x).例2求证:(x)=sinx2—xn,则f(0)=f(冗)=0,f'(x)=12cosx2—l,f〃 (x)=-14sinx2,所以f〃 (x)〉、用拉格朗日定理证明不等式要证明同一个函数在两个不同点的函数值满足的不等式,(b-a).证明F(x)=ln2x在a,b使用拉格朗日中值定理,存在4e(a,b),使得f’ (4 (b)—f(a)b—a,即21n44=ln2b-ln2ab->4e2,(t):21ntt,4)’(t)二2_21ntt2二21-lntt24)(e2)=21ne2e2=4e2,即4)U)〉4e2,21n€4〉4e2,因此ln2b-ln2ab-a〉4e2,于是In2b-ln2a>4e2(b-a).四、利用最值证明不等式要证明在区间a,b上f(x)〉g(x),只要构造函数F(x)=f(x)-g(x)证明在区间a,b上的最小值F(xO)^"(x)〉0,求证:f(a+h)+f(a-h)》2f(a)•证明设函数F(h)=f(a+h)+f(a~h),则F'(h)二f'(a+h)-fz(a-h),F〃(h)二f〃(a+h)+f"(a-h).令F'(h)=0,得h=0•因f"(x)〉0,则F〃(h)>,又因h=0是函数Fh的唯