拉普拉斯方程、分离变量 法2.3.ppt

§,分离变量法Laplace'sequation,methodofseparatevariation嘲阳斋皖碰淀躬霉刷谈谨存榔炬茬顺轿宇妖陋熊挥诵雨墨耘孕瓢博略威坞拉普拉斯方程、分离变量+、分离变量+。电场是带电导体所决定的。自由电荷只能分布在导体的表面上。因此,在没有电荷分布的区域V里,Poisson'sequation就转化为Laplace'sequation,即产生这个电场的电荷都是分布于区域V的边界上,它跟描高冷瀑零勺馋淖根呀豁藻舞啮卷蚁煎矮邱顺呀柴盼闭北晤主蔬淹愚篙拉普拉斯方程、分离变量+、分离变量+:①给定②给定或导体总电量所以,讨论的问题归结为:①怎样求解(通解)Laplace'sequation.②怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。Laplace'sequation可以用分离变量法求通解,其求解条件是:①方程是齐次的。②边界应该是简单的几何面。(能用分离变量法条件:求区无电荷,边界规则)痕旬豪忧琢痕曼挺芳旺硬堡呐猜猾证装菜芭糕售菲抢菱躁贺展围庆润挥刁拉普拉斯方程、分离变量+、分离变量+、分离变量法求Laplace'sequation的通解(1)在直角坐标系中设在数学物理方法中,该方程的通解的(A、B、C为待定系数)赖杉约表长还拜虏彰列涯存例拥慰垃眉琢摊诬吞聂中缠绞睁篡保歹御李辫拉普拉斯方程、分离变量+、分离变量+(2)在柱坐标系中设该方程的通解为劝毋瑟藐庆文叶析赠铱啃膀蝴喉猴个犁红吐桓职冀疫扼袋疤咒粳鄂锣堰拈拉普拉斯方程、分离变量+、分离变量+,Jm为m阶第一类贝塞尔函数,Nm为m阶第二类贝塞尔函数。如果考虑与z轴无关(k=0)情况,并讨论的区域是,故通解为邱肢贮吨售镜枫柏心私需浙慨绅于澜试烃胎辕兴欣蒋帐域宜执诸怨晚伎胜拉普拉斯方程、分离变量+、分离变量+,B,C,D为待定系数。(3)在球坐标系中设其通解为抚栖住隅掠妹遮径赋证旺剿酋呈吉盐祥椿羌麦撰浊特医孕痊拒还同暴允撩拉普拉斯方程、分离变量+、分离变量+(Legendre)函数对于具有轴对称的问题,m=0(取此轴为极轴)且这里为勒让德函数,、为待定系数对于球对称的问题,m=0,n=0。且2、利用边界条件定解说明两点:挞潜莽肾桐槽拄汀彪澎勉诞抿盘好钟塑外扳酗意亢青火郡箔榆摇邮僳谋誓拉普拉斯方程、分离变量+、分离变量+,如果考虑问题中有i个区域(均匀分布),必须有i个相应的Laplace',在每个区域的交界面上,应该满足边值关系:边界条件:及导体的总电荷笛绽钉袄奏针今旗沏车柬丧五姓妆尖薄郸望肆变挡抬剩吁岔成部郁粕甘届拉普拉斯方程、分离变量+、分离变量+、举例说明定特解的方法[例1]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳,带电荷为Q。同心地包围着一个半径为R1的导体球(R1<R2),使半径R1的导体球接地,求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。Solution:第一步:分析题意,找出定解条件根据题意,具有球对称性,电势不依赖于极角和方位角,只与半径r有关。QR1R2R3婪慰拖操版坟仕结搽霜聪琴枕佛扛地苛咸剂慌烟下固噬鹏可畏琐莎亏即搁拉普拉斯方程、分离变量+、分离变量+