代数学引论第一章答案.doc

如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,:对任意a,bG,由结合律我们可得到(ab)2=a(ba)b,a2b2=a(ab)b再由已知条件以及消去律得到ba=ab,,每个元素a都适合a2=e,:[方法1]对任意a,bG,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此G为交换群.[方法2]对任意a,bG,a2b2=e=(ab)2,,其中定义了一个乘法ab,适合条件:a(bc)=(ab)c;由ab=ac推出b=c;由ac=bc推出a=b;:[方法1]设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有akaiakaj------------<1>aiakajak------------<2>再由乘法的封闭性可知G={a1,a2,…,an}={aka1,aka2,…,akan}------------<3>G={a1,a2,…,an}={a1ak,a2ak,…,anak}------------<4>由<1>和<3>知对任意atG,存在amG,使得akam=<2>和<4>知对任意atG,存在asG,使得asak=,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。[方法2]为了证明G在给定的乘法运算下成一群,只要证明G内存在幺元(单位元),={a1,a2,…,an}.(Ⅰ)证明G内存在幺元.<1>存在atG,使得a1at=a1.(这一点的证明并不难,这里不给证明);<2>证明a1at=ata1;因为a1(ata1)at=(a1at)(a1at)=(a1)2a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)=(a1)2,故此a1(ata1)at=a1(a1at)(1),(2)可得到a1at=ata1.<3>证明at就是G的幺元;对任意akG,a1(atak)=(a1at)ak=a1ak由条件(2)可知atak==.(Ⅱ)证明G内任意元素都可逆;上面我们已经证明G内存在幺元,可以记幺元为e,为了方便可用a,b,c,…,存在bG,使得ab=ba=e.<1>对任意aG,存在bG,使得ab=e;(这一点很容易证明这里略过.)<2>证明ba=ab=e;因为a(ab)b=aeb=ab=ea(ba)b=(ab)(ab)=ee=e再由条件(2),(3)知ba=(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1):如果乘法满足结合律,并且对于任一对元素a,bG,下列方程ax=b和ya=b分别在G内恒有解,:取一元aG,因xa=a在G内有解,记一个解为ea,,ax=b在G内有解,记一个解为c,那么有ac=b,所以eab=ea(ac)=(eaa)c=ac=b,,xd=ea在G内有解,即G内任意元素对ea存在左逆元,又因乘法满足结合律,故此G在该乘法下成一群.[总结]群有几种等价的定义:幺半群的每一个元素都可逆,,G内定义一个代数运算,该运算满足结合律,并且G内包含幺元,G内任意元素都有逆元,,G内定义一个代数运算,该运算满足结合律,并且G内包含左幺元,G内任意元素对左幺元都有左逆元,,G内定义一个代数运算,该运算满足结合律,并且对于任一对元素a,bG,下列方程ax=b和ya=b分别在G内恒有解,,,y,适合(xy)2x2y2.[思路]在一个群G中,x,yG,xy=yx(xy)2x2y2(这一点很容易证明).:取x=,y=那么(xy)2=x2y2.[注意]我们可以通过mathematica软件编写Sn的群表,输出程序如下:Pr[a_,b_,n_]:=(*两个置换的乘积*)(Table[a[[b[[i]]]],{I,1,n}]);Se[n_]:=(*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格