代数学引论第一章答案.doc

1 G中,对任意元素 a,b 有(ab) 2=a 2b 2,则G为交换群. 证明:对任意 a,b G, 由结合律我们可得到(ab) 2 =a(ba)b, a 2b 2 =a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群 G为交换群. G中,每个元素 a都适合 a 2 =e, 则G为交换群. 证明:[方法 1]对任意 a,b G, ba=bae=ba(ab) 2 =ba(ab)(ab) =ba 2 b(ab)=beb(ab)=b 2 (ab)=e(ab)=ab 因此 G为交换群.[方法 2]对任意 a,b G,a 2b 2 =e=(ab) 2, 由上一题的结论可知 G为交换群. ,其中定义了一个乘法 ab, 适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由 ab=ac 推出 b =c; (3) 由 ac=bc 推出 a=b; 证明 :[方法 1] 设 G={a 1 ,a 2,…,a n },k 是 1,2, …,n中某一个数字,由(2) 可知若 i j(I,j=1,2, …,n), 有 a ka ia ka j ------------<1> a ia ka ja k ------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a 1 ,a 2,…,a n }={a ka 1,a ka 2,…,a ka n }------------<3> G={a 1 ,a 2,…,a n }={a 1a k,a 2a k,…,a na k }------------<4> 由<1> 和<3> 知对任意 a tG, 存在 a mG, 使得 a ka m=a t. 由<2> 和<4> 知对任意 a tG, 存在 a sG, 使得 a sa k=a t. 由下一题的结论可知 G在该乘法下成一群. 2 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。[方法 2]为了证明 G在给定的乘法运算下成一群,只要证明 G内存在幺元(单位元),并且证明 G内每一个元素都可逆即可. 为了叙述方便可设 G={a 1 ,a 2,…,a n }. (Ⅰ)证明 G内存在幺元. <1> 存在 a tG,使得 a 1a t=a 1 .(这一点的证明并不难,这里不给证明); <2> 证明 a 1a t=a ta 1;因为 a 1(a ta 1)a t=(a 1a t)(a 1a t)=(a 1) 2 a 1(a 1a t)a t=(a 1a 1)a t=a 1(a 1a t)=(a 1) 2, 故此a 1(a ta 1)a t=a 1(a 1a t)a t. 由条件(1),(2) 可得到 a 1a t=a ta 1. <3> 证明 a t就是 G的幺元; 对任意 a kG,a 1(a ta k)=(a 1a t)a k=a 1a k 由条件(2) 可知 a ta k=a k. 类似可证 a ka t=a k. 因此 a t就是 G的幺元.(Ⅱ)证明 G内任意元素都可逆; 上面我们已经证明 G内存在幺元,可以记幺元为 e,为了方便可用 a,b,c, …等符号记 aG, 存在 bG,使得 ab=ba=e. <1> 对任意 aG,存在 bG,使得 ab=e; (这一点很容易证明这里略过.) <2> 证明 ba=ab=e; 因为 a(ab)b=aeb=ab=e a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e 再由条件(2),(3) 知 3 ba=ab. 因此 (Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1) 可知 G在该乘法下成一群. G内定义一个乘法 ab. 证明:如果乘法满足结合律,并且对于任一对元素 a,b G, 下列方程 ax=b 和 ya=b 分别在 G内恒有解,则 G在该乘法下成一群. 证明: 取一元 aG, 因 xa=a 在G内有解,记一个解为 e a,下面证明 e bG, ax=b 在G内有解,记一个解为 c,那么有 ac=b ,所以 e a b= e a (ac)= (e a a)c=ac=b, 因此 e , xd=e a在G内有解,即G内任意元素对e a存在左逆元, 又因乘法满足结合律,故此G在该乘法下成一群.[总结]群有几种等价的定义: (1) 幺半群的每一个元素都可逆,则称该半群为群. (2) 设G 是一个非空集合, G 内定义一个代数运算,该运算满足结合律, 并且 G 内包含幺元,G 内任意元素都有逆元, 则称 G 为该运算下的群. (3) 设G 是一个非空集合, G 内定义一个代数运算,该运算满足结合律, 并且 G 内包含左幺元,G 内任意元素对左幺