高中数学函数单调性的判断方法.docx

高中数学函数单调性的判断方法单调性是函数的重要性质,它在数学中有许多应用,如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么,有哪些求函数单调性的方法呢?方法一:定义法对于函数f(x)的定义域I内某个区间A上的任意两个值(1)当时,都有,则说f(x)在这个区间上是增函数;(2)若当时,都有,则说f(x)在这个区间上是减函数。例如:根据函数单调性的定义,证明:函数在上是减函数。要证明函数f(x)在定义域内是减函数,设任意,则,   ,且在与中至少有一个不为0,不妨设,那么,,故在上为减函数。方法二:性质法除了用基本初等函数的单调性之外,(x)、g(x)在区间B上具有单调性,则在区间B上有:(x)与c•f(x)当c>0具有相同的单调性,当c<0具有相反的单调性;(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)都是增(减)函数;(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数,当两者都恒小于0时也是减(增)函数;例如,已知f(x)在R上是减函数,那么-5f(x)为____函数。这道题很简单,我们根据单调性的性质,很容易就能判断它是增函数。方法三:同增异减法(处理复合函数的单调性问题)对于复合函数y=f[g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域),可令t=g(x),则三个函数y=f(t)、t=g(x)、y=f[g(x)]中,若有两个函数单调性相同,则第三个函数为增函数;若有两个函数单调性相反,:(1)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性;(2)互为反函数的两个函数有相同的单调性;(3)如果f(x)在区间D上是增(减)函数,那么f(x)在D的任一子区间上也是增(减)函数。例如,求函数y=log4(x2-4x+3)的单调区间。解:设y=log4u,u=x2-4x+>0,u=x2-4x+3,解得原复合函数的定义域为x<1或x>∈(-∞,1)时,u=x2-4x+3为减函数,而y=log4u为增函数,所以(-∞,1)是复合函数的单调减区间;当x∈(3,±∞)时,u=x2-4x+3为增函数y=log4u为增函数,所以,(3,+∞):图像法画出函数的图形,直接根据图像走势,判断函数在某一子区间的单调性。例如,画出函数图象并写出函数的单调区间。解:即如图所示,单调增区间为,单调减区间为方法五:导数法函数的单调性与导数的关系:在某个区间内,如果,那么