均值不等式样稿.doc

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse薇二均值不等式及其应用芃算术平均值-几何平均值不等式(以下简称n元平均不等式)是指:对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即羁,①芈当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立。蚇平均不等式是一个非常重要的不等式,无论是它的证明还是其运用,都蕴含了很深刻的方法论教育价值。——从熟悉引入芁在小学,关于长方形的周长和面积,学生们就有这样的经验:当长方形的周长,即长与宽的和一定时,比如两边分别为(1,7)、(2,6)、(3,5)、(4,4)等时,随着两边长越来越接近,面积也越来越大,即等周长的长方形越“方正”时面积越大。而当它成为正方形时,面积最大。将这一图形经验转化为数量经验,就是“和一定的两个正数越接近时乘积越大”。这个结论用作差比较法很容易就可以证得。特殊的,有“正数a1,a2满足。两边开方,就是2元平均不等式。事实上,2元平均不等式就是实数基本性质(a1-a2)2≥0的变形。——不等式放大肅考察若干个正数的乘积,计算这些正数的算术平均数,并观察下列几个具体不等式的“放大”过程。膁2元:1×7<2×6<3×5<4×4=;肀3元:2×4×9<4×6×5<5×5×5=;袆4元:2×4×9×13<4×9×8×7<8×6×7×7<7×7×7×7=;蒆5元:2×3×4×6×20<3×4×6×15×7<4×6×11×7×7<6×8×7×7×7袃<7×7×7×7×7=;衿羆同理,对于6元,1×6×7×10×11×19<9×9×9×9×9×9=。——发现不等式莁把上述算法归纳一下:在n个正数a1、a2、…、an-1与an的乘积中,将这n个数中的最小数(如x)和最大数(如y)换为两个新的因数A(其中A=)和x+y-A,作为一次调整。每作这样的一次调整,新的n个数的算术平均还是A,但这n个正数的乘积将变大,这样最多调整(n-1)步,不等式右边全部变成A,即右边最后为An,调整到此结束。从而得到袂a1a2…an-1an≤()n。两边开n次方,便得n元平均不等式①式。,实际上是一个有限次不断放大的过程。尽管其思路清晰,但是这种表达人们往往不习惯,甚至有时抱着一种怀疑的态度。为此用数学归纳法将上述思路表达出来。肃证明:1)当n=2时,易证①式成立。蚁2)假设n=k-1(k>1,k∈Z)时结论成立。膆那么,当n=k时,不妨假定a1≤a2≤…≤ak-1≤ak,莅令,则a1≤A≤ak,∴a1+ak-A>0。螅∴a1ak-(a1+ak-A)A=(A-a1)(A-ak)≤0,即a1ak≤(a1+ak-A)A。莀∴a1a2…ak-1ak≤a2a3…ak-1(a1+ak-A)A。由归纳假设,有膆螆节∴a2a3…ak-1(a1+ak-A)≤Ak-1,∴a1a2…ak-1ak≤a2a3…ak-1(a1+ak-A)A≤Ak,腿两边取k次算术根,得,芆当且仅当a1=a2=…=ak时取等号。即当n=k时,不等式①也成立。膆由1)、2)可知,不等式①得证。,只要用清水漂洗几次就好了。现有一大桶水,共A