均值不等式样稿.doc

1 二均值不等式及其应用算术平均值-几何平均值不等式(以下简称 n元平均不等式)是指:对于 n 个正数 a 1,a 2,…,a n,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即 nn naaan aaa?? 21 21????,①当且仅当 a 1=a 2=…=a n时,等号成立。平均不等式是一个非常重要的不等式,无论是它的证明还是其运用,都蕴含了很深刻的方法论教育价值。 经验铺垫——从熟悉引入在小学,关于长方形的周长和面积,学生们就有这样的经验:当长方形的周长,即长与宽的和一定时,比如两边分别为(1,7)、(2,6)、(3,5)、(4,4) 等时,随着两边长越来越接近,面积也越来越大,即等周长的长方形越“方正”时面积越大。而当它成为正方形时,面积最大。将这一图形经验转化为数量经验, 就是“和一定的两个正数越接近时乘积越大”。这个结论用作差比较法很容易就可以证得。特殊的,有“正数 a 1,a 2满足 22121)2 ( aaaa ??。两边开方,就是 2元平均不等式。事实上, 2元平均不等式就是实数基本性质(a 1-a 2) 2≥0的变形。 具体操作——不等式放大考察若干个正数的乘积,计算这些正数的算术平均数,并观察下列几个具体不等式的“放大”过程。 2元: 1× 7<2 × 6<3 × 5<4 ×4= 2)2 62( ?; 3元: 2×4× 9<4 ×6× 5<5 ×5×5= 3)3 942( ??; 4元: 2×4×9× 13<4 ×9×8× 7<8 ×6×7× 7<7 ×7×7×7= 4)4 13 942( ???; 5元: 2×3×4×6× 20<3 ×4×6×15× 7<4 ×6× 11×7× 7<6 ×8×7×7×7 <7 ×7×7×7×7= 5)5 20 6432( ????; 2 同理,对于 6元,1×6×7×10× 11× 19<9 ×9×9×9×9×9= 6)6 19 11 10 761( ?????。 归纳算法——发现不等式把上述算法归纳一下:在 n个正数 a 1、a 2、…、a n -1与a n的乘积中,将这 n 个数中的最小数(如 x )和最大数(如 y )换为两个新的因数 A (其中 A=n aaa n???? 21 )和 x+y-A ,作为一次调整。每作这样的一次调整,新的 n 个数的算术平均还是 A,但这 n 个正数的乘积将变大,这样最多调整(n -1) 步,不等式右边全部变成 A,即右边最后为 A n,调整到此结束。从而得到 a 1a 2…a n -1a n≤(n aaa n???? 21) n。两边开 n次方,便得 n元平均不等式①式。 严格证明用逐步调整法证明 n元平均不等式,实际上是一个有限次不断放大的过程。尽管其思路清晰,但是这种表达人们往往不习惯,甚至有时抱着一种怀疑的态度。为此用数学归纳法将上述思路表达出来。证明: 1)当 n =2时,易证①式成立。 2)假设 n=k -1( k >1, k∈Z)时结论成立。那么,当 n=k 时,不妨假定 a 1≤a 2 ≤…≤ a k -1≤a k, 令k aaaA k????? 21,则 a 1≤A≤a k,∴ a 1+a k-A >0 。∴a 1a k -(a 1+a k-A )A=( A-a 1 )(A-a k)