函数对称性周期性和奇偶性规律总结.docx

函数对称性周期性和奇偶性规律总结.docx(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性:(奇偶性是一种特殊的对称性)1、奇偶性:(1)奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式/(X)+/(-X)=0(2)偶函数关于y(即x二0)轴对称,偶函数有关系式f(-x)=f(x)2、奇偶性的拓展:同一函数的对称性函数的轴对称:函数V=/(尢)关于x-a对称of(a+x)=f(a-x)+x)=f(a-x)也可以写成/(x)=f(2a-兀)或/(-x)=f(2a+x)若写成:f(a+x)=f(h-x),则函数y二f(x)关于直线(«+%)+(/?-%)a+b对称x= = 22证明:设点3,y)在y=/(x)上,通过/(兀)=f(2a-x)可知,yY=f{xx)=f(2a一兀[),即点(2a-xx,y)也在y=f(x)上,而点(兀i,X)与点(2。一兀i,yj关于x=a对称。得证。・••函数y=.f(x)关于x=a对称函数y=/(%)关于x=a对称・・・函数y=/(x)关于x=a对称说明:关于兀=。对称要求横坐标之和为2d,纵坐标相等。(<7+兀[,刃)与(^_兀],)[)关于X=Q对称,O/(Q+X)=/(G—X);•(兀1,刃)与(加-占,刃)关于x=a对称,Of(x)=f(2a-x);•(一州,莎)与(2a+西,刃)关丁•兀=幺对称,o/(-x)=/(26z+x)函数的点对称:函数y=/(无)关于点(Q,b)对称of(a+x)+f(a-x)=2b上述关系也可以写威(2“+龙)+/(-兀)=劝或f(2a-%)+/(X)=2b若写成:f(a+x)4-f(h-X)=c,函数y=f(x)关于点(弓°,彳)对称证明:设点(兀]j)在y=/(x)上,即必=/3),通idf(2a-x)+/(x)=2b可知,/(2q—坷)+/(画)=%,所以f(2a-xl)=2b-f(xl)=2b-yl,所以点(2a-x{,2b-y^)也在y=/(x)上,而点(2a-x[,2b-y[)与(西,y)关于(a,b)对称得证。说明:关于点S0)对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如(a+兀)与Ca-x)之和为2d。函数丁=/(%)关于点y=b对称:假设函数关于y=b对称,即关于任一个x值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于y=b对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会岀现关于y=b对称,比如圆c(x,y)=X2+y2一4=0它会关于y二0对称。复合函数的奇偶性的性质定理:性质1、复数函数y=f[g(x)]为偶函数,则f[g(—x)]=f[g(x)]o复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]o性质2、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a);复合函数y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)o性质3、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则y=f(x)关于直线x=a轴对称。复合函数y=f(x+a)为奇函数,则y=f(x)关于点(a,0)中心对称。总结:x的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程总结:x的系数一个为1,一个为-1,f(x)整理成两边,其中一个的系数是为1,另一个为T,存在对称中心。总结:x的系数同为为1,具有周期性。(二)、两个函数的图彖对称性1、y=/(兀)与y=-/(