大题规范解答-全得分系列之（二）导数应用问题答题模板.doc

导数是解决函数问题的重要工具,利用导数解决函数的单调性问题、求函数极值、最值及解决生活中的最优化问题,是高考考查的热点,在解答题中每年必考,常与不等式、方程结合考查,试题难度较大,因此对该部分知识要加大训练强度,提高解题能力.
“大题规范解答——得全分”系列之(二)
导数的应用问题答题模板
[典例] (2012北京高考·满分13分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.
[教你快速规范审题]
,挖解题信息
―→
,明解题方向―→
,找解题突破口
解方程组
,挖解题信息
―→
,明解题方向
―→
,找解题突破口
问题转化为求函数h(x)=f(x)+g(x),=x3+ax2+ a2x+1的导数
增区间为和,
单调递减区间为
①当-1≤-,即0<a≤2时,h(x)max=h(-1)=a-
②当-<-1<-,即2<a<6时,h(x)max=h(-)=1
③当-1≥-,即6≤a时,h(x)max=h(-)=1
[教你准确规范解题]
(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,
因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,
所以(2分)
即解得a=b=3.(3分)
(2)设h(x)=f(x)+g(x),
∵a2=4b,∴h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+a2x+1.
则h′(x)=3x2+2ax+a2,令h′(x)=0,
解得x1=-,x2=-.(5分)
由a>0,得h(x)与h′(x)的变化情况如下:
x
-
-
h′(x)
+
0
-
0
+
h(x)



∴函数h(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为.(7分)
①当-1≤-,即0<a≤2时,函数h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h(-1)=a-;(8分)
②当-<-1<-,即2<a<6时,函数h(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间(-∞,-1]上的最大值为h=1;(10分)
③当-1≥-,即a≥6时,函数h(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增,
又因为h-h(-1)=1-a+a2=(a-2)2>0,
所以h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h=1.(12分)
综