求数列通项公式的方法总结.doc

求数列通项公式的方法数列是高考中的重点考察内容之一,每年高考都会考察,小题一般较易,大题一般较难。数列的通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接规律法根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。,说出数列的通项公式:(1)、,,,,,…;(2)、,,,,,…;(3)、,,,,,,,,…;(4)、1,2,5,8,12………(5)、………二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式求解.(注意:求完后一定要考虑合并通项)例2.①.②已知数列的前项和满足,求数列的通项公式.③已知等比数列的首项,公比,设数列的通项为,求数列的通项公式。③解析:由题意,,又是等比数列,公比为∴,故数列是等比数列,,∴三、待定系数法:求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1、递推式为a=pa+q(p≠1,pq≠0)型,通过分解常数,可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。解法:设a+k=p(a+k)与原式比较系数可得pk-k=q,即k=,从而得等比数列{a+k}。例3、数列{a}满足a=1,a=a+1(n≥2),求数列{a}的通项公式。解:由a=a+1(n≥2)得a-2=(a-2),而a-2=1-2=-1,∴数列{a-2}是以为公比,-1为首项的等比数列∴a-2=-()∴a=2-()说明:通过对常数1的分解,进行适当组合,可得等比数列{a-2},从而达到解决问题的目的。练习、1数列{a}满足a=1,,求数列{a}的通项公式。解:由得设a,比较系数得解得∴{}是以为公比,以为首项的等比数列∴2、已知数列满足,且,:设,则,是以为首项,以3为公比的等比数列点评:求递推式形如(p、q为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求,、递推式为(p、q为常数)型,可同除,得,令从而化归为(p、q为常数),,:将两边同除,得设,,数列是以为首项,为公比的等比数列..因,.3、递推式为解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令,与已知递推式比较,解出,从而转化为是公比为的等比数列。例5:设数列:,:令化简得:所以解得,所以又因为,所以数列是以5为首项,3为公比的等比数列。从而可得变式:(2006,山东,文,22,本小题满分14分)已知数列{}中,在直线y=x上,其中n=1,2,3…(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列4、递推式为解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令,与已知递推式比较,解出,。例6:设数列:,(其中p,q均为常数)。解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为其中s,t满足解法二(特征根法):对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。例7:已知数列中,,,,求。变式:(I)证明:数列是等比数列;(II)求数列的通项公式;(III),,,,,是其前项和,并且,⑴设数列,求证:数列是等比数列;⑵设数列,求证:数列是等差数列;⑶求数列的通项公式及前项和。四、累加(乘)法1、递推式为型数列,我们可以根据递推公式,写出n取1~n时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加即可得到通项公式。,,,求通项。解析:由得,所以,,…,,将以上各式相加得:,又所以=2、递推式为型的数列,我们可以根据递推公式,写出n取1~n时的所有的递推关系式,然后将它们分别相乘即可得到通项公式。,,(),求通项。解析:由已知,,,…,,又,所以=…=…=五、取倒变换、对数变换、换元变换法1、取倒变换:递推式为的关系,可在等式两边同乘以先求出或递推式为类型一般是等式两边取倒数后转化为求解例10..设数列满足求解:原条件变形为两边同乘以得.∵∴2、对数变换:递推式为类型,一般是等式两边取对数后转化为,再利用待定系数法求解例11、设正项数列满足,(n≥2).:两边取对数得:,,设,则是以2为公比的等比数列,.,,,∴变式:{an}满足