求数列通项公式方法总结.pdf

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(1).公式法(定义法)
根据等差数列、等比数列的定义求通项
例:1已知等差数列{a}满足:a7,aa26,求a;
n357n
{a}满足a2,aa1(n1),求数列{a}的通项公式;
n1nn1n
a满足a=8,a2,且a2aa0(nN),求数列a的通项
n14n2n1nn
公式;
11
{a}满足a2,2,求数列a的通项公式;
n1aan
n1n
11
{a}满足a0且1,求{a}的通项公式
n11a1an
n1n
2a
{a}满足an,a1,求数列{a}的通项公式。
nn1a21n
n
{a}的各项均为正数,且2a3a1,a29aa,求数列{a}的通项公
n12326n
式
{a}满足a2,a3a(n1),求数列{a}的通项公式;
n1nn1n
{a}满足a2,a4且aaa2(nN),求数列a的通项公
n12n2nn1n
式;
{a}满足a2,且a5n12(a5n)(nN),求数列a的通项公
n1n1nn
式;
{a}满足a2,且a52n123(a52n2)(nN),求数列
n1n1n
a的通项公式;
n
1
a满足a,a4a1(n1).则数列a的通项公式=
n12nn1n
(2)累加法
1、累加法适用于:aaf(n)
n1n
aaf(1)
21
aaf(2)
若aaf(n)(n2),则32
n1n
aaf(n)
n1n
n
两边分别相加得aaf(n)
n11
k1
11
例:{a}满足a,aa,求数列{a}的通项公式。
n12n1n4n21n
{a}满足aa2n1,a1,求数列{a}的通项公式。
nn1n1n
{a}满足aa23n1,a3,求数列{a}的通项公式。
nn1n1n
{a}满足a2,aa322n1,求数列{a}的通项公式
n1n1nn
(3)累乘法
适用于:af(n)a
n1n
aaaa
若n1f(n),则2f(1),3f(2),,n1f(n)
aaaa
n12n
an
两边分别相乘得,n1af(k)
a1
1k1
例:{a}满足a2(n1)5na,a3,求数列{a}的通项公式。
nn1n1n
2n
a满足a,aa,求a。
n13n1n1nn
3n1
3,aa(n1),求a。
1n13n2nn
(4)待定系数法适用于aqaf(n)
n1n
解题基本步骤:
1、确定f(n)
2、设等比数列af(n),公比为
n1
3、列出关系式af(n1)[af(n)]
n112n1
4、比较系数求,
12
5、解得数列af(n)的通项公式
n1
6、解得数列a的通项公式
n
例:{a}中,a1,a2a1(n2),求数列a的通项公式。
n1nn1n
2.(2006,重庆,文,14)在数列a中,若a1,a2a3(n1),则该数列的通项
n1n1n
a_______________
n
3.()已知数列a满足a1,a2a1(nN*).
n1n1n
求数列a的通项公式;
n
{a}满足a2a35n,a6,求数列a的通项公式。
nn1n1n
解:设ax5n12(ax5n)
n1n
{a}满足a3a52n4,a1,求数列{a}的通项公式。
nn1n1n
解:设ax2n1y3(ax2ny)
n1n
511
a中,a,aa()n1,求a
n16n13n2n
{a}满足a2a3n24n5,a1,求数列{a}的通项公式。
nn1n1n
解:设ax(n1)2y(n1)z2(axn2ynz)
n1n
{a}满足a2a43n1,a1,求数列a的通项公式。
nn1n1n
递推公式为apaqa(其中p,q均为常数)。
n2n1n
先把原递推公式转化为asat(asa)
n2n1n1n
stp
其中s,t满足
stq
{a}满足a5a6a,a1,a2,求数列{a}的通项公式。
nn2n1n12n
a满足a1,a3,a3a2a(nN*).
n12n2n1n
(I)证明:数列aa是等比数列;(II)求数列a的通项公式;
n1nn
21
a中,a1,a2,aaa,求a
n12n23n13nn
(5)递推公式中既有S
n
S,n1
分析:把已知关系通过a1转化为数列a或S的递推关系,然后采用相
nSS,n2nn
nn1
应的方法求解。
1
1.(2005北京卷)数列{a}的前n项和为S,且a=1,aS,n=1,2,3,……,
nn1n13n
求a,a,a的值及数列{a}的通项公式.
234n
2.(2005山东卷)已知数列a的首项a5,前n项和为S,且SSn5(nN*),
n1nn1n
证明数列a1是等比数列.
n
1
a中,a3,前n和S(n1)(a1)1
n1n2n
①求证:数列a是等差数列
n
②求数列a的通项公式
n
1
{a}的各项均为正数,且前n项和S满足S(a1)(a2),且a,a,a成
nnn6nn249
等比数列,求数列{a}的通项公式。
n
(6)根据条件找n1与n项关系
151
{a}中,a1,aC,若C,b,求数列{b}的通项
n1n1a2na2n
nn
公式
1n1
a1,a(1)a
{a}1n1nn
2.(2009全国卷Ⅰ理)在数列n中,n2
a
bn
n{b}
(I)设n,求数列n的通项公式
(7)倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项
2a
例:{a}满足an,a1,求数列{a}的通项公式。
nn1a21n
n
(8)对无穷递推数列
消项得到第n1与n项的关系
例:1.(2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列{a}满足
n
a1,aa2a3a(n1)a(n2),求{a}的通项公式。
1n123n1n
n
a满足a3a32a…3n1a,aN*.求数列a的通项;
n123n3n
(8)、迭代法
例:{a}满足aa3(n1)2n,a5,求数列{a}的通项公式。
nn1n1n
解:因为aa3(n1)2n,所以
n1n
n(n1)
又a5,所以数列{a}的通项公式为a53n1n!22。
1nn
(9)、变性转化法
1、对数变换法适用于指数关系的递推公式
例:已知数列{a}满足a23na5,a7,求数列{a}的通项公式。
nn1n1n
解:因为a23na5,a7,所以a0,a0。
n1n1nn1
两边取常用对数得lga5lganlg3lg2
n1n
2、换元法适用于含根式的递推关系
1
例:已知数列{a}满足a(14a124a),a1,求数列{a}的通项公式。
nn116nn1n
1
解:令b124a,则a(b21)
nnn24n