四点共圆的妙用.doc

四点共圆的妙用襄阳市三十三中刘敏关键词:四点共圆、相似、图形变换、转化思想接要:在人教版教材的旧教材中有一个定理,即四点共圆的定理,在新教材中由于圆的内容删了不少,这个定理也没有再出现。但在直角三角形的图形变换中时常可以看到,当我们证明了四点共圆时,很多知识在后面的证明中会简化很多,而我们利用圆中90°的圆周角对的弦是直径及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这两个定理就很容易证明四点共圆。所以我们有很多题目的证明都可以走这样一条路。在这些年来不断进行的教改中,人教版的数学教材也有了不少变化,特别是圆中的大量定理被删除,降低了初中阶段数学学习的难度,而保留的一些题目都是可以用三角形的相关知识解决的。然而,很多时候,我们可以发现我们仍然可以借用圆的相关知识使证明简化。下面我们看这样一个模板:如图:RT△ABC和RT△DBC中,∠BAC=90°,∠BCD=90°。求证:A、B、C、D四点共圆证明:取BC中点O,连接AO、DO∵∠BAC=90°,∠BCD=90°∴AO=BO=CO=DO∴A、B、C、D四点在以O为圆心,以OB为半径的圆上。有了这个结论,有很多的结论可以直接引申得到,我们看下面的一些习题变式::RT△ABC和RT△DBC中,∠BAC=90°,∠BCD=90°。点O、M分别为BC、AD的中点。求证:OM⊥AD证明①由上面的AO=OD∵点M为AD的中点∴OM⊥AD证明②由上面的四点共圆∴OM⊥AD那么这里的一种方法是用等腰三角形的三线合一定理,另一个是运用了圆中的垂径定理,写法过程是一样多的步骤。但在圆中来解决问题就很好地将直角三角形与等腰三角形结合起来,体现了几何图形变换中的一种基本的转换思想,当图形发生变化时这样的结论也会很快得出,不需要重新去构造定理成立的条件。变式图形如左边的图,条件不变,结论也不变,只是图形发生了变化,原本用哪一种方法都是可以的。但如果在圆中有这样的定理,通过证明四点共圆后这种图形模式就可以直接用圆的相关知识,那么我们就只需要一个步骤就能得到正确结论了,这也反映了数学知识的螺旋上升原理,圆的知识比三角形的知识包含的内容更多,运用范畴也就更广。,这个性质可以用来进行相关的角的计算和证明。而在圆中则有同弧所对的圆周角相等且等于圆心角的一半这样的性质,这个性质中同弧所对的圆周角有无数个,也就是说我们在圆中找相应的角的关系能够有很多可以用。例:如图,一幅三角板ACD、BCE中,△ACD是等腰直角三角形,∠CAD=∠CBE=90°,直线a∥:BC=BP证明:连接CP方法①设BP与AC交于点0∵∠CAD=∠CBE=90°,∠COB=∠AOP∴△BOC∽△AOP∴=∵∠COP=∠BOA∴△AOB∽△POC∴∠CPB=∠CAB∵a∥CD∴∠CAB=∠ACD=45°∴∠CPB=∠CAB=45°∵∠CBE=90°∴∠BCP=45°=∠BPC∴BC=BP方法②由上面的模板我们可以知道点A、B、C、P四点共圆,于是我们可以知道∠CPB=∠CAB(利用同弧所对的圆周角相等)比较一下这两种证明方法,如果没有四点共圆,就是考查了学生对相似的理解,通过相似转换得到所需要的结论,但当我们学习了四点共圆后很快就能够得