整环里的唯一分解.doc

概述:本章主要讨论与因子分解有关的问题,我们知道在整数环里有唯一分解定理,,在一个抽象的环里这个定理是否成立;但由于在一个一般的环里去研究这个问题有相当的困难,,I的单位元均记为1,、唯一分解基本概念:整除,单位、相伴元,平凡因子、真因子、素元,、难点::整环I中的可逆元称为I的一个单位(Unit).注1:单位与单位元是两个概念,单位元一定是单位,:整环I中的全体单位关于I的乘法构成一个Abel群,称为I的单位群,记为U(I).:我们说,整环I的一个元a可以被I的元b整除,假如在I里找得出元c,使得a=,我们说b是a的因子,并且用符号b|a来表示,:元b叫做元a相伴元,假如b=εa,:单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子,其余的a的因子,:整环I的一个元p叫做一个素元,假如p既不是零元,也不是单位,:两个单位ε和ε′的乘积εε′也是一个单位,单位ε的逆ε-::(1);(2)..(3).:整环中一个不等于零的元a有真因子的充分而且必要条件是:,:()..若.()假定,,否则,:我们说,一个整环I的一个元a在I里有唯一分解,假如以下条件能被满足:(1);(2)若又有,:设(1).(2).(3).(4).(5).作业:?唯一分解环基本概念:唯一分解环,、最大公因子,、难点::整环I叫做一个唯一分解环(UFD),:唯一分解环有以下性质:若一个素元,:当中有一个是零或是单位时,,也非单位..,如;:在一个UFD中,:若整环I满足:(1)(2):公因子;,:.:假定I是唯一分解环,(1)在I中,(2).作业::主理想环基本概念::主理想环,主理想和极大理想、、难点:主理想、:如果整环I中的每一个理想都是主理想,则称I是一个主理想环,:.证明:,:.证明:,:设是一个PID,,:由于,所以令,:..而,则存在而,则,我们断言,为序列中的最后一个,如若不然,,则是相伴关系,:设是一个PID,证明::设是一个PID,:(1)现设对的不是素元的真因子重复上面的讨论过程,这样的分解过程经有限步后必终止(否则会得到无穷序列后面的元是前面一个元的真因子,这与I是PID的前提矛盾),此时已把分解成有限个素元之积.(2)::证明::欧氏环的定义,、难点::设I是整环,若存在映射(2)::,,,,:任何一个欧氏环一定是一个主理想环,:设令,,.若注:,:::域F上的一元多项式环证明:,其中即作业:,并证明之:(1)(2)::整环①UFD②PID③ED④