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第 9 章 唯一分解整环

在初等数论中，我们已经知道整数的唯一素分解的特性．实际上整数的唯一素分解实际上
是整数环的一个特性．现在我们考虑的问题是，是否存在比整数环更抽象的一类环，也存在类
似于整数环的素分解的特性？回答是肯定的，这类环也是一类整环，我们称之为单一分解整
环．本章的主要目的就是要讨论整环中与分解有关的一些基本概念及一个整环为单一分解整环
的充要条件．另外，我们还将介绍几种具体唯一分解整环的实例：主理想整环、欧氏环及唯一
分解整环上的多项式环．


§1 分解的基本概念

我们知道在整数环中，与唯一分解密切相关的本概念如整除、素数（素元或既约元）唯一
分解的概念等．我们将这些概念可以推广到一般的整环中．
首先给出整除的概念．
定义 1 给定整环 R ，, ∈ Rba ，如果存在 ∈ Rc ，满足
= bca
则称a 被b 整除，或b 整除 a ，记 为 | ab ．这时称b 是a 的因子，a 为 b 的倍元．否则，b 不
能整除a ，记为/| ab ．
下面我们将讨论两个元素互相整除的充要条件．
定理 1 给定整环 R ，, ∈ Rba ，则| ab 且| ba 的充要条件是a 与 b 仅相差一个可逆元，
即存在一个可逆元∈ Rc ，使
= bca ．
证明 必要性：若 , ba 相互整除，由| ab 知存在 ∈ Rc 使
= bca ；
由| ba 知存在′∈ Rc 使
= cab ′ ．
所以
= = cacbca ′ ．
由整环的消去律得cc ′ = 1 ．得证．
充分性：若存在可逆元 c 使
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= bca ，
则
= acb −1 ．
从而a ，b相互整除．得证．
在整数环中，我们知道如果两个整数相互整除，则这两个数仅相差 ±1 ． ±1 恰为整数环
的所有逆元．这就提示我们，对于整环的整除而言，如果两个因子仅相差一个逆元，我们认为
这两个因子是相同的．在这种意义下，整环的素分解才可能具有唯一性．为了进一步定义素元、
既约元的概念，首先定义与逆元有关的几个概念．
定义 2 如果ε 是整环 R 的一个可逆元，则称ε 是整环 R 的一个单位．
R 中所有单位组成 R 的子集U 构成一个 R 的乘法子群．
定义 3 给定整环 R ，对 , ∈ Rba ，如果存在一个单位ε 使 = ab ε ．则称a 与 b 相伴，b 为
a的相伴元, 记为 a ～ b ．
例 1 在高斯整数环中，即一切形如 + bia ( ,ba 是任意整数)的复数（叫做高斯整数）作
成的整环中，有逆元的元的模等于 1，故高斯整数环的单位为 = )0,1(1 ，− = − )0,1(1 ，i = )1,0(
和 i −=− )1,0( ．
显然，整环中两个元素相伴即意味着相互整除，并且两个元素互为相伴元．在整数环中，
a 的所有相伴元既为± a ．
定义 4 给定整环 R ，对 , ∈ Rba ，若 | ab ，且 b 不为 R 的单位或者a 的相伴元，则称b
为a 的真因子．否则，b 为a 的平凡因子