近世代数课件--4.2.唯一分解环.ppt

§
定义与例子
等价条件
典型分解
最大公因子与互素
定义与例子
由于上一节的例我们知道,在一个整环里唯一分解定理未必成立。但是我们也知道,在有些整环里,比方说整数环里,这个定理是成立的。
定义1 一个整环叫做一个唯一分解环,假如的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解, 即:
(ⅰ)分解性. a 既不等于零又不是单位的元a可以分解
(ⅱ)唯一性.
若同时还有
那么
并且我们可以把的次序掉换一下,使得
例1. 举正反例子
例2. 在唯一分解环, 每一个非零元a 的因子, 在相伴的意义下只有有限多个.
证明:
(1) 如果a是单位, 那么, a 的因子只有单位, 所有单位都相伴的(??). 因此, a 的因子, 在相伴的意义下只有一个.
(2) 如果a不是单位, a可以分解
a 的因子只有下面的形式:
不相伴因子总数不超过个
说明: 不同类因子不相伴, 同类因子可能相伴.
一个唯一分解环有下面重要性质。
定理 1 一个唯一分解环有以下性质;
(ⅲ)若一个素元能够整除,那么能够整除
或。
注: 在一个非唯一分解环, 一个非零元a 的因子, 可以有无穷多个不相伴的(吴品三,p181).
证明
能够整除
(1) 当之中有一个是零或是单位的时候,定理也是对的。若,那么。若是单位,那么
(2) 和都不是零元,也都不是单位。这时c显然不等于零。我们说c又不是一个单位。不然的话
而由Ⅳ,1定理2, 是素元。这就是说,素元可以写成两个非单位的乘积,因而有真因子。这是矛盾。
c既不是零又不是单位,由唯一分解环的定义,
另一方面
这样,
由唯一分解的定义, 一定是某一个或某一个的相伴元。
若是某一个的相伴元,那么
同样若是某一个的相伴元,那么。
这样, 能够整除中的一个。
证完
等价条件
性质(ⅲ)的重要性由以下定理可以看出。
定理 2 假定一个整环有以下性质:
(ⅰ) 的每一个既不是零也不是单位的元都有一个分解
(ⅲ) 的一个素元若能整除,那么能整除或。
那么, 一定是一个唯一分解环。