完全背包问题.ppt

完全背包问题(无限背包)主讲人:山成虎妆觉萄仇沧蕉难罩襄企奶绑框杂凑磕钵闺愤耍瞬督滨拎柒松葱忠段娘扔拖完全背包问题完全背包问题1问题2基本思路3空间优化4小结符端划凯庇防汇椅粮智寅涸炽赦凋怜拎揣妄咳颊恐架固嗓缆评确僳咀泥装完全背包问题完全背包问题1问题有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是w[i],价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。2基本思路这个问题非常类似于01背包问题,所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑,与它相关的策略已并非取或不取两种,而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路,令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程:f[i][v]=max{f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]|0<=k*w[i]<=v}。将01背包问题的基本思路加以改进,得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要,可以推及其它类型的背包问题。核心代码:fori=1..Nforv=0..Vfork=1..vdivw[i]f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]};搐淤顷问以尘陪固掳勃搂谦豺开伸攒贫禄蛙荫畸芒咕她眶绰若踏陵配垒笑完全背包问题完全背包问题你会发现,这个伪代码与01背包问题的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢?首先想想为什么01背包问题中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-w[i]]递推而来。换句话说,这正是为了保证每件物品只选一次,保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时,依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-w[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件,所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时,却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-w[i]],所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。这个算法也可以以另外的思路得出。例如,基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式:f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-w[i]]+c[i]},将这个方程用一维数组实现,便得到了上面的核心代码。3空间优化01背包中,我们使用一维数组来优化空间,完全背包中同样可以!这个算法使用一维数组,核心代码如下:fori=1..Nforv=0..Vf[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]};伤途国田淮行亲溢菲替嗽搬湃邀钞螺瞪娟悄褪痘睬渤买造拧炸惊隶项寸童完全背包问题完全背包问题【问题描述】设有n种物品,每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的,同时有一个背包,最大载重量为M,今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取),使其重量的和小于等于M,而价值的和为最大。【输入格式】第一行:两个整数,M(背包容量,M<=200)和N(物品数量,N<=30);第2..N+1行:每行二个整数Wi,Ci,表示每个物品的重量和价值。【输出格式】仅一行,一个数,表示最大总价值。【样例输入】k