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完全背包问题
(无限背包)
主讲人:山成虎
1 问题
2 基本思路
3 空间优化
4小结
1 问题
有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是w[i],价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
2 基本思路
这个问题非常类似于01背包问题,所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑,与它相关的策略已并非取或不取两种,而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路,令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程:
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]|0<=k*w[i]<= v}。
将01背包问题的基本思路加以改进,得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要,可以推及其它类型的背包问题。
核心代码:
for i=1..N
for v=0..V
for k=1..v div w[i]
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]};
你会发现,这个伪代码与01背包问题的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢?首先想想为什么01背包问题中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-w[i]]递推而来。换句话说,这正是为了保证每件物品只选一次,保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时,依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-w[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件,所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时,却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-w[i]],所以就可以并且必须采用v= 0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。
这个算法也可以以另外的思路得出。例如,基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式:f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-w[i]]+c[i]},将这个方程用一维数组实现,便得到了上面的核心代码。
3 空间优化
01背包中,我们使用一维数组来优化空间,完全背包中同样可以!
这个算法使用一维数组,核心代码如下: for i=1..N
for v=0..V
f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]};
【问题描述】
设有n种物品,每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的,同时有一个背包,最大载重量为M,今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取),使其重量的和小于等于M,而价值的和为最大。
【输入格式】
第一行:两个整数,M(背包容量,M<=200)和N(物品数量,N<=30);
第2..N+1行:每行二个整数Wi,Ci,表示每个物品的重量和价值。
【输出格式】
仅一行,一个数,表示最大总价值。
【样例输入】
10 4
2 1
3 3
4 5
7 9
【样例输出】
max=12
【解法一:二维数组】
【算法分析】
设 f(i,x)表示前i件物品,总重