圆锥曲线中四点共圆问题.pdf.pdf

名师讲坛匮函藤
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四点菸固
年高考全国卷第题、年湖北卷理科第题和年江苏卷
,知识
面广,,帮助学生掌握解析法证明四点
共圆的方法,本文现以一道调研试题为例说明如下.
题目如图所示,
和一的交点在以原点为中心的
圆周上,
一
学调研试题
证法一本题根据“相加法”得到一个圆方程,再
说明四点共圆. \弋,
一上①
一上⑦
图
所以四个交点的坐标必须同时满足方程①和②,
把①和②相加得:
。一,这是一个圆的方程,即题设的四点共圆.
.一:,
证法二解方程组。一。::’的四个交点的坐标,得:
—;, ;—,一; ,一
.志,志此
,这四点都在以原点为圆心,
√上。‘‘
为: ,。。一.
√上
注意本法根据“四点到定点的距离都相等”而证明之.
证法三由证法二已得到四个交点,,,的坐标,设过其中任意三点如一一一一一一一一
,,的圆的方程为,将,,三点的坐标依次代人上
面的方程,得到关于,,的三元一次方程组:
上—。一一:,
。~ 。~ 一一:,解这个方程组得:,
【/ 一、/ Ⅱ:,
,,一等,。
上
一:.把点坐标代入所求圆的方程得:。· —
√上十
—一
, 所以点坐标满足所求圆的方程,故,,,
√‘‘
四点共圆.
注意本法根据“先建立一个圆的方程,再说明其余各点的坐标都满足此方
程”而证明之.
证法四因为,,,四点的坐标已由证法二得到,故广等,从
而得到四阶行列式
一
、/
一一
Ⅱ/口
因为此行列式的第一列和第四
一
、//

Ⅱ
列中相应的元素相同,故此行列式的值是零,所以,,,四点共圆
名师讲坛
注意本法是根据四点共圆的条件来证明的.
即。设四个点为,,,,,则四点共圆的条件是:

;
:


证明将四个点的坐标代人圆的一般式方程中,得四
个以,,为未知数的三元一次方程:, ,,,,因
为它们有共同解,所以根据行列式的知识,就能