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第五章常微分方程数值解法(Numerical Methods for Ordinary Differential Equations)
引言
引言
考虑一阶常微分方程的初值问题(Initial-Value Problem ):
只要 f (x, y) 在x∈[a, b] 上连续,且关于 y 满足 Lipschitz 条件,即存在与 x, y 无关的常数 L 使
对任意定义在[a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立,则上述常微分方程存在唯一解。
引言
数值解法就是要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值
y0 y1 … yn
节点间距称为步长,通常采用等距节点,即取 hi = h (常数)。
解决: 数值解法的一个基本特点是“步进式”,即求解时顺着节点排列的次序一步步地向前推进。
单步: yk-1 yk
多步: yk-p … yk-2 ,yk-1 yk
注意:与“迭代法”区别
第五章常微分方程数值解法
欧拉方法( Euler’s Method )
显式Euler公式
由两点公式求导数,在[xj , xj+1]子区间上有:
其中j [xj , xj+1]
代入方程有
显式Euler公式
x0
x1
y(x1)
y(x0)
h
显式Euler公式的误差
局部截断误差
显式Euler公式
定义
在假设 yj = y(xj),即第 i 步计算是精确的前提下,考虑的截断误差 ej+1 = y(xj+1)  yj+1 称为局部截断误差/* local truncation error */。
(P169)例1:取h=,分别用显式Euler法、隐式Euler法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题
解:
用显式Euler法求解,有:
…依次下去计算结果见P169
隐式Euler公式
由两点公式求导数,在[xj , xj+1]子区间上有:
其中j [xj , xj+1]
代入方程
有
局部截断误差
隐式Euler公式
是一个关于yj+1的方程,
要从中解出yj+1
x0
x1
(P169)例1:取h=,分别用显式Euler法、隐式Euler法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题
计算过程见P170
用隐式Euler法求解,有:
解:
从中解出yi+1,有:
显隐结合的预测校正系统——避免求解方程(predictor-corrector method )
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测,算出预测值
Step 2: 再用隐式欧拉公式作校正,得到校正值
写成一个公式为:
y0 =y(a)-> y1-> y1-> y2-> y2 …-> yn-> yn
计算顺序: