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小波分析小结小波分析的形成小波分析是一门数学分支,是继Fourier变换之后新的时频域分析工具。小波理论的形成经历了三个发展阶段:Fourier变换阶段:Fourier变换是将信号在整个时间轴上进行积分,它将信号的时域特征和频域特征联系起来,分别进行分析。设信号,其Fourier变换为:确定了在整个时间域上的频谱特性。但Fourier变换不能对信号从时域和频域结合起来分析,它是一种全局变换,在时间域上没有任何分辨率。例:,其Fourier变换对应图如下:短时Fourier变换阶段:短时Fourier变换即加窗Fourier变换,其思想是把信号分成许多小的时间间隔,用Fourier分析每个时间间隔,以确定该间隔存在的频率,达到时频局部化目的。其表达式为:式中,为时限函数,即窗口函数,起频限作用,大致反映了在时、频率为的信号成分含量。由上式,短时Fourier变换能实现一定程度上的时频局部化,但窗口函数确定时,窗口大小和形状固定,所得时频分辨率单一。小波分析阶段:为了克服上述缺点,小波变换应运而生。小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加,即在频率宽上减小;在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小,而在频率宽上增加。对信号可以进行概貌和细节上的分析。小波的定义:设(为能量有限的空间信号),其Fourier变换为,若满足容许条件:则称为母小波,由容许条件可得:,说明具有波动性,,如下图:将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波,定义式如下:其中a为伸缩因子,b为平移因子。a以Marr小波为例,分别取伸缩平移因子a,、1、2、4;-1、0、1,对应图形如下:Daubichies小波常见的小波有Daubechies、Symlets、Morlet、MexicanHat、Meyer小波等,其对应的图形及性质如下:Daubechies小波是正交小波,没有解析表达式(除Haar小波外)。其简写形式为dbN,N表示阶数,支集区间为(0,2N-1)。Symlets小波与db小波的差别是sym小波有更好的对称性。Morlet小波不具备正交性,不存在紧支集,不能做离散小波变换,没有解析尺度函数,其小波函数为:MexicanHat小波不具有正交性,不存在尺度函数,是高斯函数的二阶导数,小波函数为:Meyer小波为在频域定义的具有解析形式的正交小波,不存在紧支集,但其频谱有限,具有对称性。小波函数的特点:正交性:小波函数与自身内积为1,而与其伸缩平移后的小波系列内积为0。正交小波的优点是小波变换可将信号分解到无重叠的子频带上,并且可以进行高效的离散小波变换。对称性:不具有对称性的小波函数所重构的信号会有相位失真。紧支性:具有紧支性的小波其小波函数仅在有限区间内是非零的,其局部化能力强,小波变换复杂度低。正则性:用于刻画小波函数的光滑程度,正则性越高,函数越光滑。消失矩:用于衡量小波逼近光滑函数时的能力。消失矩越大,压缩比越大。尺度函数:若函数,其整数平移系列满足:则称为尺度函数。对尺度函数进行平移和伸缩,可得一个尺度和位移均可变的函数集合:称每一个固定尺度上的平移系列所张成的空间为尺度的尺度空间:正交多分辨分析:Hilbert空间中,若一列闭子空间满足如下性质:嵌套性:逼近性:伸缩性:平移不变性:正交性(Riesz基):存在,使得是的标准正交基。滤波器:在二尺度方程中,对系数系列和作Fourier变换得和,其中,,称和分别为低通滤波器和高通滤波器。称和分别为低通滤波器系数和高通滤波器系数。小波变换连续小波变换:设为一母小波,,称为的连续小波变换。离散小波变换离散小波:通过离散化连续小波变换中的平移因子b和尺度因子a得到,:若取,可以得到二进小波:信号的离散小波变换并不是直接由尺度函数和对应的小波与信号内积来实现,而是利用滤波器组和来实现,用矩阵形式表述如下:其中,设滤波器长度为k。并且两滤波器系数间有如下关系:;;;以db5小波为例,其低通滤波器系数如下(这里取二尺度方程为)所得的系数:h[0]=;h[1]=;h[2]=;