正向思维与逆向思维.doc

正向思维与逆向思维数学思维能力培养系列谈③正向思维与逆向思维厦门第一中学郑辉龙姚丽萍一、正向思维与逆向思维正向思维是指按常规习惯去分析问题,按常规进程进行思考、推测,是一种从已知进到未知的逻辑顺序来揭示问题本质的思维方法。正向思维与逆向思维只是相对而言的,逆向思维是指背逆人们的习惯路线行进的思维。听过“1美元”的故事吗?一天,犹太富翁哈德走进纽约花旗银行的贷款部。看到这位气度非凡的绅士,贷款部的经理不敢怠慢,赶紧招呼:“先生,您有什么事情需要我帮忙的吗?”“哦,我想借些钱。”“好啊,你要借多少?”“1美元。”“只需要1美元?”“不错,只借1美元,可以吗?”“当然可以,像您这样的绅士,只要有担保多借点也可以。”“那这些担保可以吗?”犹太人说着,从豪华的皮包里取出一大堆珠宝堆在写字台上。“喏,这是价值50万美元的珠宝,够吗?”“当然,当然!不过,你只要借1美元?”“是的。”犹太人接过了1美元和抵押凭证,就准备离开银行。在旁观看的分行行长十分纳闷,他急忙追上前去,对犹太人说:”先生,请等一下,假如您想借30万、40万美元的话,我们也会考虑的。”读者朋友,您知道哈德先生如何回答的吗?答案见本文结尾。正逆向思维起源于事物的方向性,客观世界存在着互为逆向的事物,由于事物的正反向,才产生思维的正反向,两者是密切相关的。数学知识本身就充满着正反两方面的转换。例如加减、乘除、乘方开方等运算与逆运算;最大值与最小值、函数与反函数、性质定理与判定定理等。两种思维的培养同样重要。事实上,一方面由于正向思维符合人们的常规习惯,显得亲切自然,大众化,因此只要开动脑筋,正向思维即自动成为默认的第一选择,教师的课堂教学及学生的问题思考同样习惯于正向思维,相对而言,逆向思维培养明显弱化。另一方面,事实证明,运用逆向思维,常常会取得意想不到的功效,这说明反向思维是摆脱常规思维羁绊的一种具有创造性的思维方式。因此,本文重点谈谈逆向思维的培养。二、。(1)逆用定义。在概念教学中应让学生明白:所有定义都是“充分且必要”的,也就是说定义都具备“可逆性”,可以正反两用。案例1:解方程的结果是()=-===2点评:人教版数学课本七年级(上)P81“解方程”的定义是:解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解。笔者曾经统计过,超过一半的学生是按照解方程的定义“求出”结果,仅有少数“偷懒”的学生逆用定义带入验证---观察口算即可获解。(2)逆用公式。在公式教学中应让学生明白:所有公式都是恒等式,都可以逆用。案例2:简便计算(1)(2)。点评:两道类型题摆在一起,明显结果是:学生做题(1)很顺,做题(2)困难,原因在于对平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)的逆用感觉“不习惯”。(3)逆用法则。法则就是规律,中学数学法则大多数是可以用等式表达的运算规律,同样关注其逆用。例如幂的运算法则用数学符号语言可表示为四个恒等式:am·an=am+n,am÷an=am-n,(am)n=amn,(ab)m=am·bm。案例3:(1)计算:()100·(-2)200;(2)已知2m=a,32n=b,求23m+10n;(3)已知,,求。点评:这里的三道小题,需要学生熟练地逆用上述四个法则。在试题命制中,经验告诉我们,凡仅仅顺用这些法则就够的题肯定是普遍都会的“送分题”,反之,只要涉及逆用这些法则的题都会成为有一定区分度的“中档题”。事实上,只要适度的训练,提升逆向思维能力,所谓中档题也是可以转化为送分题的。(4)注重逆命题教学。在逆定理教学中,首先让学生明白:不是每个定理都有逆定理的。最经典的是“对顶角相等”就没有逆定理。在此基础上,采用“矫枉过正”策略---偏重逆定理的应用。在定理(包括其他命题)的教学中,可经常设置逆命题类的问题,有助于提升学生逆向思维的意识。图1案例4:我们已经学习了三角形中位线定理,如果将定理中的部分条件和结论对调后成为逆命题,是否还成立呢?请分别判断以下两题的结论是否正确,如果正确,证明之;如果不正确,举一个反例说明。逆命题(1):如图1,△ABC中,如果点D是AB中点,DE交AC于E,DE∥BC,那么点E是AC中点,且DE=BC。逆命题(2):△ABC中,如果点D是AB中点,DE交AC于E,DE=BC,那么点E是AC中点,且DE∥BC。点评:这是开放题,没有明确结论,需要学生自己判断;这是初中几何核心定理的逆命题;这是类型相同而结论不同的“题组题”,题(1)为真,可以证明,题(2)为假,可以举反例。同时,举反例训练也是培养逆向思维的重要手段。。习题讲评,应该给学生展示思维的过程。在此,重点向学生讲清楚分析与综合的两种思维过程。所谓综合,是