阿波罗尼斯圆问题.doc

阿波罗尼斯圆问题阿波罗尼斯圆问题一【问题背景】苏教版《数学必修2》:已知点与两个定点的距离之比为,那么点的坐标应满足什么关系?、【阿波罗尼斯圆】公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:,点为两定点,动点满足,则时,动点的轨迹为直线;当时,动点的轨迹为圆,:,直线为轴建立平面直角坐标系,,则由得, 两边平方并化简整理得,当时,,轨迹为线段的垂直平分线;当时,,轨迹为以点为圆心,、【范例】:以中点为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,则,设,由得,平方化简整理得,∴,则,∴,边的中点为,若,:以中点为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,则,由知,,的轨迹为阿波罗尼斯圆,方程为,设,的中点为得,所以点的轨迹方程为,即,∴,,设点,若存在点,使得,:设,则,整理得,即动点在以为圆心,,由知动点在线段的垂直平分线上运动,因而问题就转化为直线与圆有交点,所以,,点,,,使,:设,则圆方程为又设,,即这说明既在圆上,又在圆上,因而这两个圆必有交点,即两圆相交或相切,,解得,⊙和点.(1)过点向⊙引切线,求直线的方程;(2)求以点为圆心,且被直线截得的弦长为4的⊙的方程;(3)设为(2)中⊙上任一点,过点向⊙引切线,:平面内是否存在一定点,使得为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,:(1)设切线方程为,易得,解得,∴切线方程为.(2)圆心到直线的距离为,设圆的半径为,则∴⊙的方程为(3)假设存在这样的点,点的坐标为,相应的定值为,根据题意可得,∴,即(*),又点在圆上∴,即,代入(*)式得:若系数对应相等,则等式恒成立,∴,解得,∴可以找到这样的定点,,比值为;点的坐标为时,、【练习】,在等腰中,已知,,边的中点为,:∵,所以点的轨迹是阿波罗尼