阿波罗尼斯圆问题.doc

阿波罗尼斯圆问题

一【问题背景】
苏教版《数学必修2》:
已知点与两个定点的距离之比为,那么点的坐标应满足什么关系?画出满足条件的点所构成的曲线.
二、【阿波罗尼斯圆】
公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.
如图,点为两定点,动点满足,
则时,动点的轨迹为直线;当时,动点的轨迹为圆,
后世称之为阿波罗尼斯圆.
证:,直线为轴建立平面直角坐标系,则.
又设,则由得,
两边平方并化简整理得,
当时,,轨迹为线段的垂直平分线;
当时,,轨迹为以点为圆心,长为半径的圆.
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.
三、【范例】
例1 满足条件的三角形的面积的最大值是.
解:以中点为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,则
,设,由得,
平方化简整理得,∴,则
,∴的最大值是.
变式在中,边的中点为,若,则的面积的最大值是.
解:以中点为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,则,
由知,,的轨迹为阿波罗尼斯圆,方程为
,设,的中点为得,所以点的轨迹方程为
,即,
∴,故的最大值是.
例2 在平面直角坐标系中,设点,若存在点,使得,则实数的取值范围是.
解:设,则,
整理得,即动点在以为圆心,为半径的圆上运动.
另一方面,由知动点在线段的垂直平分线上运动,因而问题就转化为直线与圆有交点,
所以,故实数的取值范围是.
例3 在平面直角坐标系中,点,,圆心在上.
若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
解: 设,则圆方程为
又设, , 即
这说明既在圆上,又在圆上,因而这两个圆必有交点,
即两圆相交或相切,
,
解得,即的取值范围是.
例4 已知⊙和点.
(1)过点向⊙引切线,求直线的方程;
(2)求以点为圆心,且被直线截得的弦长为4的⊙的方程;
(3)设为(2)中⊙上任一点,过点向⊙引切线,切点为Q. 试探究:平面内是否存在一定点,使得为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.
解:(1)设切线方程为,易得,解得,
∴切线方程为.
(2)圆心到直线的距离为,设圆的半径为,则
∴⊙的方程为
(3)假设存在这样的点,点的坐标为,相应的定值为,
根据题意可得,∴,
即(*),
又点在圆上∴,即,代入(*)式得:

若系数对应相等,则等式恒成立,∴,
解得,
∴可以找到这样的定点,使得为定值. 如点的坐标为时,比值为;
点的坐标为时,比值为.
四、【练习】
,在等腰中,已知,,
边的中点为,点的轨迹所包围的图形的面积等于.
解:∵,所以点的轨迹是阿波罗尼斯圆,易知其
方