高中数学导数及其应用知识点.doc

高中数学导数及其应用知识点导数知识点归纳及其应用●知识点归纳一、=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)-f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f’(x)或y’|。即f’(x)==。说明:(1)函数f(x)在点x处可导,是指时,有极限。如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。(2)是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤:①求函数的增量=f(x+)-f(x);②求平均变化率=;③取极限,得导数f’(x)=。例:设f(x)=x|x|,则f′(0)=.[解析]:∵∴f′(0)==f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。相应地,切线方程为y-y=f/(x)(x-x)。例:在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是() [解析]:切线的斜率为又切线的倾斜角小于,即故解得:=s(t),那么该物体在时刻t的瞬间速度v=(t)。如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v′(t)。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是():A。练习:已知质点M按规律做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s)。当t=2,时,求;当t=2,时,求;求质点M在t=2时的瞬时速度。答案:(1)(2);(3)8二、:①(C为常数)②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.例1:下列求导运算正确的是()A.(x+B.(log2x)′=C.(3x)′=3xlog3eD.(x2cosx)′=-2xsinx例2:设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2005(x)= () B.-sinx .-:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即:(法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:若C为常数,:法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:(v0)。例:设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,>(3)=(x)g(x)<0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)[解析]:∵当x<0时,>0,即∴当x<0时,f(x)g(x)为增函数,又g(x)是偶函数且g(3)=0,∴g(-3)=0,∴f(-3)g(-3)=0故当时,f(x)g(x)<0,又f(x)g(x)是奇函数,当x>0时,f(x)g(x)为增函数,且f(3)g(3)=0故当时,f(x)g(x)<=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——>求导——>回代。法则:y'|=y'|·u'|:求下列各函数的导数:(1)(2)(3)(4)三、(1)设函数在某个区间(a,b)可导,如果,则在此区间上为增函数;如果,则在此区间上为减函数。(2)如果在某区间内恒有,则为常数。例:函数是减函数的区间为 ()A. B. C. D.(0,2):曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;例:函数已知时取得极值,则=() :在区间[a,b]上连续的函数f在[a,b]上必有最大值与最小值。但在开区间(a,b)内连续函数f(x)不一定有最大值,例如。求最值步骤:①求函数ƒ在(a,b)内的极值;②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b);③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。说明:(1)函数的最大值和最小值是一个整体