高中数学导数及其应用知识点.doc

导数知识点归纳及其应用●知识点归纳一、=f(x),如果自变量x在x0处有增量x,那么函数y相应地有增量y=f(x0+x)-f(x0),比值0),比值yx叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率,即yx=f(x0x)f(x0)x。如果当x0时,yx有极限,我们就说函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数,记作f’(x0)或y’|x。x0即f’(x0)=ylimxx0=f(x0x)f(x0)limxx0。说明:(1)函数f(x)在点x0处可导,是指x0时,yx有极限。如果yx不存在极限,就说函数在点x0处不可导,或说无导数。(2)x是自变量x在x0处的改变量,x0时,而y是函数值的改变量,可以是零。由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤:①求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0);②求平均变化率yx=f(x0x)f(x0)x;③取极限,得导数f’(x0)=ylim。x0x例:设f(x)=x|x|,则f′(0)=.f(0x)f(0)f(x)|x|x[解析]:∵limlimlimlim|x|∴f′(0)=0函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率是f’(x0)。相应地,切线方程为y-y0=f0)(x-x0)。/(x/(x13例:在函数yx8x的图象上,其切线的倾斜角小于4的点中,坐标为整数的点的个数是()[解析]:切线的斜率为ky38又切线的倾斜角小于,即0k142故03x8188解得:3x或x333故没有坐标为整数的点导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s(t),那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s(t)。如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v′(t)。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图像可能是():A。2练习:已知质点M按规律23st做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s)。(1)当t=2,,求st;(2)当t=2,,求st;(3)求质点M在t=2时的瞬时速度。答案:(1)(2);(3)8scms二、:①C0;(C为常数)②nnxnx1;③(sinx)cosx;2④(cosx)sinx;xx⑤(e)e;xx⑥(a)alna;⑦lnx1x;⑧:下列求导运算正确的是()A.(x+1x)112xB.(log2x)′=x1ln2C.(3x)′=3xlog2cosx)′=-2xsinx3eD.(xx)′=3xlog2cosx)′=-2xsinx例2:设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),⋯,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2005(x)=().-.-:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),'uv''即:(uv).法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个'u'vuv'函数乘以第二个函数的导数,即:(uv).若C为常数,则'''0''(Cu)'Cu'以函数的导数:(Cu).法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:uvu'vv2uv'(v0)。例:设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f(x)g(x)f(x)g(x)>(3)=(x)g(x)<0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)/[解析]:∵当x<0时,f(x)g(x)f(x)g(x)>0,即[f(x)g(x)]03∴当x<0时,f(x)g(x)为增函数,又g(x)是偶函数且g(3)=0,∴g(-3)=0,∴f(-3)g(-3)=0故当x3时,f(x)g(x)<0,又f(x)g(x)是奇函数,当x>0时,f(x)g(x)为增函数,且f(3)g(3)=0故当0x3时,f(x)g(x)<0故选D复合函数的导数形如y=f(x)的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——>求导——>回代。法则:y'|X=y'|U·u'|