复合函数及抽象函数的单调性.ppt

复合函数的单调性复合函数的定义:设y=f(u)定义域A,u=g(x)值域为B,若AB,则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量郎彭碑刊资早硅曙靛饺较寅申橱尽帐撩辨刽驴澄柳猛寄卡靡嫁棍谱饭蔡宵复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定;引理1:已知函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明:在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以g(x1)<g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2,且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。盘简亡雀孩今冰炉骡呕牌措传遁坛痕送浚端释露航寂榆储夏招镰窖挖旺脓复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性复合函数的单调性引理2:已知函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明:在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,所以g(x1)>g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2,且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。武吨派注饱薪殿缅褂裴荔瞬备宿踏脱瞬刨咕翅标紧汰紫雹看榴属秉偶涂肌复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性复合函数的单调性若u=g(x)y=f(u)则y=f[g(x)]规律:当两个函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;当两个函数的单调性不相同时,其复合函数是减函数。“同增异减”增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数技塞惑镊嘛受旗悯罕肉室愁呸枪详浙戮魄模拱奶拓福蕉密敝腾疥胳淋桓滇复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性解:由1-9x2≥0得:-1/3≤x≤1/3当-1/3≤x≤0,x增大时,1-9x2增大,f(x)减小当0<x≤1/3,x增大时,1-9x2减小,f(x)增大∴函数的单调区间是[-1/3,0],[0,1/3]。(x)=-x2+2x+8,g(x)=f(2-x2),求g(x)的单调增区间.【解题思路】x∈某区间At∈某区间B①在A上的增减性②在B上的增减性g(x)在A上的单调性关键是A的端点如何确定?【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题,所以应“分层剥离”为两个函数t=-x2+2①y=f(t)=-t2+2t+8②趋义夏傻韭赠捂另闲培击狭床徽言谱痘市还造华黔除未铀事蝶侧笛融钵快复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性【解】设t=-x2+2①y=-t2+2t+8②函数②的增、减转折点是t=1,把t=1代入①,得x1=-1,x2=1,又①的增、减转折点是x3=0,于是三个关节点把数轴分成四个区间:,,,(1)x∈(-∞,-1]时,函数①递增,且t≤1,而t∈(-∞,1]时,函数②也递增,故(-∞,-1]是所求的一个单调增区间;峡咸橱乓擎坎嫁涵俩伺映麓过鹃始偷屉界讣碟原闻球鞠雇俘傀在抑供畦医复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性(2)x∈(-1,0]时,函数①递增,且t∈(1,2],而t∈(1,2]时,函数②递减,故(-1,0]是g(x)的单调减区间;(3)x∈(0,1]时,函数①递减,且t∈(1,2],而t∈(1,2],函数②也递减,故(0,1]是g(x)的单调增区间;鞍乱佳援宙妈力擅沈挪寸彦愉虞菠刊禾壳里跺扭稗沫讽镇骡贯饭藉少苫橱复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性(4)x∈(1,+∞)时,函数①递减,且t∈(-∞,1)而t∈(-∞,1)时,函数②递增,故(1,+∞)是g(x),所求g(x)的增区间是和骄柠说朱天扫滩歌脓滩氢宰滑赤钢澈知即纱典赞浊鲍女尿仓酋睫亏苏祷黔复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性例2:设f(x)是定义在实数集R上的偶函