本科毕业论文-构造函数法在微积分证明中的应用.doc

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一、绪论
构造函数思想是数学的一种重要的思想方法,在数学中具有广泛的应用。所谓构造法,就是根据件或结论所具有的特征、性质,构造出满足条件或结论的数学模型,借助于该数学模型解决数学问题的方法。它具有两个显著的特性:直观性和可行性,正是这两个特性,在数学应用中经常运用它。
构造法是我们在研究有关数学问题时,需要构造并解出一个合适的辅助问题,从而用它来求得一条通向表面看来难于接近问题的信道的一种解答问题的方法,其实质就是把研究的数学问题经过仔细的观察,挖掘其隐含条件,再通过丰富的联想,把问题化归为已知的数学模型,从而使问题得以解答。本文主要针对如何利用函数的相关知识来构造辅助函数, 并将辅助函数应用到不等式的证明中作了一些总结。不等式的证明是高等数学中的重要内容之一. 证明不等式的方法有很多, 常见的有比较法、综合法、分析法、反证法、基本不等式法等, 构造法就是其中的一种. 构造法的内涵十分丰富, 没有完全固定的模式可以套用,它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础, 针对具体问题的特点而采取相应的解决办法即借用一类问题的性质, 来研究另一类问题的思维方法. 在解题过程中, 若按思维定势来探求解题途径比较困难时, 这时我们不妨变换一下思维角度, 从不等式的结构和特点出发, 在已学过的知识的基础上进行广泛的联想, 构造一个与不等式相关的数学模型, 实现问题的转化, 从而使不等式得到证明. 运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一, 同时对提高学生的解题能力也有所帮助, 下面我们通过举例来说明构造法解题训练学生发散思维, 谋求最佳解题途。
二、构造函数在微积分证明中的应用
构造法是数学解题的主要方法之一,它的应用极广。随着知识的积累和增加,构造法就越加突现重要。比如在零点定理的证明和应用上,在微积分学里的中值定理的证明和应用上等。最典型的是拉格朗日中值定理的证明。这个定理的证明是根据几何直观的启示,构造了一个与问题有关的辅助函数,才得以运用罗尔定理解决的。这种思想方法在数学解题中经常用到,且往往有效。
中值定理特别是拉格朗日中值定理在不等式的证明中有着重要作用,通过对不等式的结构分析,构造某特定区间上的函数,满足定理的条件,达到证明目的。
其中,在拉格朗日中值定理的证明中利用定理公式构造了一个新的函数,再利用函数的性质和定理合理地证明了拉格朗日中值定理。其他中值定理也如此,都是通过构造函数来证明的。
微积分学中的四种中值定理:费马定理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理。构造法都贯穿其中,起到了重要和决定性的作用。
(一)构造辅助函数用零点定理证明
零点定理设函数在闭区间上连续,且与异号(即),那么在开区间内至少有函数的一个零点,即至少有一点()使.
零点定理的结论是:存在,使,,只要可以整理为:“证明存在,使某连续函数满足”这种形式的命题,基本上都可以使用零点定理来证明,而辅助函数的构造更为简单.
证明方法
(1)将把要正的等式化为等价的标准形式(所有项均移到等式左边,使等式右边为零).
(2)将等式左边的表达式(将换成)作为辅助函数即可.
设在闭区间上的非负连续函数,并且,证明:对于任意的,,都存在,使得.
证明:只要证,,,
并且,
.
若,则,都满足方程;
若,则由,及零点定理知,必有,使得;
因而,对于任意的,,都存在,使得,即.
构造辅助函数利用零点定理可以证明根的存在性,下面我们通过例子来验证:
例2 设实数,,,.证明方程分别在区间和有且仅有一个实根.
证明:设
,
记;
易见,是一个二次函数,它在内连续,当然在和上都连续,并且,,
.
所以由零点定理知,必存在与,使得,;
然而是一个二次函数,最多有两个零点,因此分别在区间和有且仅有一个实根.
另一方面,由于,所以当且仅当,因而也分别在区间和有且仅有一个实根.
(二)构造辅助函数用罗尔定理证明
罗尔中值定理如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,那么至少存在一点,使得.
对于含有抽象函数及其导数的方程或关于的等式,在证明时,应构造辅助函数,用罗尔定理证明。此时构造函数的一般方法是,查找原函数,其步骤为:
若证的是含有的等式,先把改为,使等式成为方程;
把方程看作是以为未知函数的微分方程,然后解微分方程;
求出解后,把任意常数移到一端,另一端即为所要构造辅助的函数;
对于形式简单的方程或含的等式,则可用观察法求出辅助函数.
下面我们用罗尔定理来证明一些重要的定理:
拉格朗日中值定理设函数满足条件:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导。则至少存在一点