第六章随机规划[试题].doc

第六章随机规划[试题].doc:..第六章随机规划第一节问题的提出随机规划所研究的对象是含有随机因素的数学规划问题。例如,我们熟悉的线性规划问题min/(X)=CX()AX=bX>0如果其屮的A,b,C的元素中部分的或全部的是随机变量,则称其为随机线性规划问题。在数学规划中引入随机性是很自然的事情。在模型中的4,b,C的元素常常代表价格、成木、需求量、资源数量、经济指标等参数。由于各种不确定性因素的影响,这些参数经常出现波动。例如,市场上对某种商品的需求量i般无法精确的预知,只能作出大致的预测,某种产品的工产成木往往受原材料价格、劳动生产率等各种因素的影响而经常变化,这些变化与波动,在许多场合可以用一定的概率分布去描述。因此,在数学规划中引入随机变量,能够使模型更加符合实际情况,从而是的决策更加合理。例1某化工厂生产过程中需要A,B两种化学成分,现有甲、乙两种原材料可供选用。其中原料甲中化学成分A的单位含量为d/10,B的单位含量为。/3;原料乙中化学成分A的单位含量为1/10,B的单位含量为1/3。根据生产要求,化学成分A的总含量不得少于7/10个单位,化学成分A的总含量不得少于4/3个单位。甲、乙两种原料的价格相同,问如何采购原料,使得即满足生产要求,又是的成本最低?显而易见,这个问题可以用线性规划模型来描述。根据题意,设原料甲的采购数量为坷,原料乙的采购数量为兀2,容易得到如下线性模型:min/(X)=旺+七axA+x2>7hx}+x2>4 ()兀]>0,x2>0于是只要知道Q和b的值,立即可以求得最优解。但是,如果由于某种原因,原料甲中化学成分4、B的单位含量不稳定,其中§=(a,by是矩形{l<x<4,|<y<l}内的均匀分布随机向量,则问题()J,就成为随机线性规划问题了。由于引入了随机量,随机规划问题的分析与求解比普通数学规划问题要复杂大多。在处理随机规划问题时,人们最容易想到的方法也许是将模型中的随机变量用它们的期望值来代,从而得到确定性的数学规划模烈,再去求解。事实上,过去许多确定性数学规划正是这样建立起来的,但是应当指出,这种处理方法在实际问题屮并不总可行的。为了说明这一点,我们不妨用此方法试解例1中的问题。容易求得E(§)=E[(d,b)U=(5/2,2/3/, ()将此值代入问题(),得到确定线性规划模型如下:min/(X)= +x25 「㊁兀1+兀2-72—+x2—4 ()x}>0,兀2X0可以求得此问题的唯一最优解为于是以此X*作为原随机线性规划问题()的最优解。可是,由于问题()中的(°,川是随机向量,我们自然希望知道,上述片是问题()的最优解这一事件的概率有多大?是问题()的可行解这一事件的概率有多大?然而,我们发现,P{{a,bY\ax{+x\>7,bx\+x^>4} "八9 \)=P{(a9b)T\a>5/2,bn2/3}=1/4也即,0对问题(),,这个解显然是不可用的。这个例了说明,用上述方法处理随机规划问题时应当十分谨慎。随机规划问题可以大致分为两种类型:被动型和主动型。被动型即所谓“等待且看到(waitandsee)"模型,即决策者等待着观察问题中随机变量的实现,然后适当地利用这些实现的信息作出决策,分布问题即属于此种类型。主动型即所谓“这里且现在(hereandnow)"模型,决策者必须在没有机变量的实现的信息的情况下就作出决策,二阶段问题和机会约朿规划均属于这种类型。第二节分布问题一、分布问题的提法例1设某工厂生产儿种产品,需要用肌种原料。第_/种产品对第j种原料的单位需要量为喝,第j种原料的拥有量为勺,第丿种产品的单位利润为Cj,试问如何安排各产品的生产量厂()=1,•••,“)),以使的在现有条件下利润最大?(X)=》CjXjJ=1YjaiJxJ砂,di,…,加()进一步考虑后,发现上述模型屮的系数知•总存在误差,故认为喝•是服从正态分布的随机变量;而单位利润系数5•亦可能随市场价格波动而变化,此外原料拥有量勺也可能因运输、保管等原因而发生短缺。于是,上述系数均可视为随机变量,记为a/w),Cj(w),勺(w),wgQ(i=l,…,加;j=1,・・・,m)。为了合理安排生产,显然希望知道,在各种可能的情况下,max/(X)的值是什么,也即希望知道max/(X)的分布如何,或者希望知道max/(X)的数学期望是多少。也就是说,对于每个样本wwQ求解一个线性规划问题max/(X)=^c.(vv)x;=i工切(w)厂p(w), i二j=\()