高中数学平面向量讲义.doc

专题六平面向量基本知识向量的基本概念与基本运算(1)向量的基本概念:①向量:既有大小又有方向的量向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.②零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行③单位向量:模为1个单位长度的向量④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量(2)向量的加法:设,则+==①;②向量加法满足交换律与结合律;,但这时必须“首尾相连”.(3)向量的减法:①相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量②向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,③作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)(4)实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下:(Ⅰ);(Ⅱ)当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反;当时,,方向是任意的(5)两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=(6)平面向量的基本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示:平面内的任一向量可表示成,记作=(x,y)。平面向量的坐标运算:①若,则②若,则③若=(x,y),则=(x,y)④若,则⑤若,则⑥若,则【3】平面向量的数量积(1)两个向量的数量积:已知两个非零向量与,它们的夹角为,则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积(或内积)规定(2)向量的投影:︱︱cos=∈R,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影(3)数量积的几何意义:·等于的长度与在方向上的投影的乘积(4)向量的模与平方的关系:(5)乘法公式成立:;(6)平面向量数量积的运算律:①交换律成立:②对实数的结合律成立:③分配律成立:特别注意:(1)结合律不成立:;(2)消去律不成立不能得到(3)=0不能得到=或=(7)两个向量的数量积的坐标运算:已知两个向量,则·=(8)向量的夹角:已知两个非零向量与,作=,=,则∠AOB=()叫做向量与的夹角cos==当且仅当两个非零向量与同方向时,θ=00,当且仅当与反方向时θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题(9)垂直:如果与的夹角为900则称与垂直,记作⊥(10)两个非零向量垂直的充要条件:⊥·=O平面向量数量积的性质例题分析【模块一】向量的基本运算【例1】给出下列六个命题:①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若,则③在平行四边形ABCD中一定有;④若,则;⑤若//,//,则//⑥任一向量与它的相反下列不相等.⑦已知向量,且,则⑧的充要条件是且//;⑨若与方向相同,且,则;⑩由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行;其中正确的命题的序号是【例2】已知向量夹角为,且;求的值.【变式1】若,,求的值.【变式2】设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3,求|3a+b|的值【例3】已知向量、的夹角为,,,若,求的值.【例4】若向量,求与的夹角.【变式】设R,向量,且,则 ( )A. B. C. 【例5】已知两个非零向量满足,则下列结论一定正确的是()A//BCD【变式1】设a,b是两个非零向量. ( )|a+b|=|a|-|b|,则a⊥⊥b,