阿基米德螺线讲解.doc

阿基米德螺线讲解浅谈阿基米德螺线摘要:本文从生活中有趣的自然现象出发,介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程、作图以及自然界和实际生活中的应用,浅谈了对于阿基米德螺线定义的不同观点,并以蚊香为例,建模,证明了阿基米德螺线应用的广泛性。关键词:阿基米德螺线、极坐标、自然界实例,生活中应用引言很多人都知道飞蛾扑火这个故事。但是,为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。飞蛾的历史远比人类悠久。在亿万年前,没有人造火光,飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远,它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时,它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。可是,如果光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞蛾再按照固有的习如惯飞行,飞出的路线就不是直线,而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(图2)。这在数学上称为阿基米德螺线。通俗的说,阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。举一个形象一点的例子:时钟上的指针在作匀速转动,假如有一只小虫子从时钟的中心,沿指针作匀速爬动,那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线(如图3)。(约公元前287,前212),古希腊伟大的数学家、力学阿基米德家。他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄(11岁时去埃及,到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都”的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习,以后和亚历山大的学者保持紧密联系,因此他算是亚历山大学派的成员。公元前240年,阿基米德由埃及回到故乡叙拉古,并担任了国王的顾问(从此开始了对科学的全面探索,在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果,成为古希腊最伟大的科学家之一(后人对阿基米德给以极高的评价,常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。据说,阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的(柯农死后,阿基米德继续研究,又发现许多重要性质,因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了(《论螺线》中阿基米德螺线的定义阿基米德螺线,亦称“等速螺线”。螺线是指一些围着某些定点或轴旋转且不断收缩或扩展的曲线,阿基米德螺线是一种二维螺线。在《论螺线》中,阿基米德给出了如下定义:当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时,这射线又以等角速度绕点O旋转,点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为:r=aθ。这种螺线的每条臂的距离永远相等于2πa。,可以或快或慢或暂停又继续地去画完这条螺旋线,是不会有“等速率”)“等角速度”感觉的。实际上阿基米德螺线是动点“旋转”与“直线”两种运动同步、按比例合成的轨迹线。“同步”意味着“旋转”与“直线”两种运动步调一致。即:你动我动,你快我快,你慢我慢,你停我停。“同步”可以包含“旋转”与“直线”两种运动的“等速度”,而“等速度”决不能等同“同步”~因为“同步”容许速度的同步变化,而“等速度”则不允许速度变化。在螺旋线中,螺距(通常用S表示)是一重要参数,它表示动点绕中心回转一周时,沿直线方向移动的距离。“螺旋比”(简称“旋比”—用ix表示)即:角度制)或ix=S/2π(弧度制);螺距与一周(360度或2π)的比,ix=S/360度(任意回转角度下,动点相应运动的直线距离(L)等于该回转角度与“旋比”的乘积。L=ixα(角度制),或L=ixθ(弧度制)。阿基米德螺线极坐标方程式r=aθ中的“a”既是螺线比“ix”;”r”既是“L”。因为阿基米德螺线的螺线比为常数,一周永远等于360度或2π,所以螺距永远相等,即螺线的每条臂的距离永远相等于2πa。根据螺距永远相等的特性,我们可将这类螺线称为“等距螺线”或“等旋比螺线”。而不能称之为“等速螺线”。:在数学中,极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点(相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点)的距离来表示阿基米德螺旋线的标准极坐标方程:r(θ)=a+b(θ)式中:b—阿基米德螺旋线系数,mm/?,表示每旋转1度时极径的增加(或减小)量;θ—极角,单位为度,表示阿基米德螺旋线转过的总度数;a—当θ=0?时的极径,mm。改变参数a将改变螺线形状,b控制螺线间距离,通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线,一条θ>0,另一条θ<0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转90?/270?得到其镜像,就是另一条螺线。在极坐标系与平面直角坐标系(笛卡尔坐标系)间转换:极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公