三角形五心.doc

三角形五心————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 重心三角形的重心重心是三角形三边中线的交点,三线交一可用燕尾定理证明,十分简单。(图中一共才几个燕尾?^_^)证明过程又是塞瓦定理的特例。重心的几条性质:1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为(X1+X2+X3/3,Y1+Y2+Y3/3)。重心坐标虽然我们经常在3D中使用三角形,但三角形却是一个天生的2D物体,使用3D中任意朝向的三角形是一件很烦恼的事。重心坐标是对这个问题的一种巧妙解决方法,它是一种与三角形表面相关联,与其3D坐标空间不相关的坐标。显然,三角形所在平面的任意点都能表示为顶点的加权平均值,这个权就叫做重心坐标。从重心坐标到标准坐标的转换为(无论2D或3D,连4D、5D也是这样):(b1,b2,b3)<=>b1v1+b2v2+b3v3式中:b1,b2,b3——重心坐标的分量v1,v2,v3——三角形的顶点坐标注意b1+b2+b3=1,所以实际上只有两个自由度,空间仍是2D的。实际上,重心坐标能表示三角形所在平面所有的点,但三角形外的点坐标至少有一个为负。对三角形内的点,计算重心坐标的方法如图所示:(图上不太清楚,红绿蓝分别为T1,T2,T3,大三角面积为T)b1=T1/T,b2=T2/T,b3=T3/T。对三角形外的点这仍适用,不过点落在一条边外时,此边上三角形面积取负数。垂心三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形垂心在三角形内部。直角三角形垂心在三角形直角顶点。钝角三角形垂心在三角形外部。垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。三角形上作三高,三高必于垂心交。高线分割三角形,出现直角三对整,直角三角有十二,构成六对相似形,四点共圆图中有,细心分析可找清,证明如第二张图,虽然“角”的符号成了乱码,但大家应该能看懂。CF为要证的高;两个角(DOC与BAD)相等后利用相似证,此部分从略。直角三角形的情况,直角顶点显然是垂心;钝角——大家没发现三角形OBC垂心就是A吗?垂心的重心坐标反而比外心简单一点。先计算下列临时变量(与外心一样):d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘(句子很长^_^)。c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。重心坐标:(c1/c,c2/c,c3/c)。外心外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,即外接圆的圆心。外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。注意到外心到三角形的三个顶点距离相等,结合垂直平分线定义,外心定理其实极好证。计算外心的重心坐标是一件麻烦的事。先计算下列临时变量:d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。重心坐标:((c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c)。内心内心是三角形三条内角平分线的交点,