5-2-相似矩阵.ppt

第三节相似矩阵1、相似矩阵的概念2、相似矩阵的性质3、矩阵与对角矩阵相似的条件5、相似变换的应用4、矩阵对角化的步骤1、相似矩阵的概念使得若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义,,,1PnBA,1进行相似变换称为对进行运算对AAPPA?,1BAPP??.,,2101??????????????A???????1101P使得,1||)1(可逆因而PP?,1101)2(1?????????P??APP1)3(.2001??????注: 相似(关系)、相似矩阵的性质1) A, B相似, 则A, B等价,因而秩相等;??);)(()32111211PAPPAPPAAP????);(,)2为正整数相似与则相似与若mBABAmm??PAPkPAPkPAkAkP21211122111)4??????;,21是任意常数其中kk.||||,)5BABA?则相似与若.,,,6)11相似与且可逆则可逆相似与若??BABABA首先容易看出相似矩阵具有如下简单性质:的特征多项与则相似与阶矩阵若BABAn,.,)(???????所以 PAIP)(1????PAIP???????使得相似可知存在可逆阵与由,PBABAPP??1推论若n阶方阵A与对角阵),,,(21ndiagΛ?????.,,,,21个特征值的是则相似nAn????下面我们介绍相似矩阵的“标准形”.?J称如的n阶矩阵为n阶约当块.??????????????????111??定义2块比如下列矩阵都是约当????????300130013????????000100010????????1011的所有非零子块都如果一个分块对角矩阵?J即是约当块,.,约当矩阵或约当标准形则称阶数若干的约当块J都是其中),,2,1(siJi??????????????sJJJ?21定义3)(约当标准形矩阵比如下列矩阵都是约当,21231313??????????????,2123313??????????????.22533??????????????,2125153??????????????定理2阶约都与一个阶矩阵任何在复数域内nAn,.相似当矩阵J),(此略求定理证明超出本课程要注:特征对角线上元素为相似的约当矩阵与AJA)1().()(重根按重记根复方程全部则约当形特征方程有单根若时,,,2)2(21??An???JAn则特征方程三个单根若时,,3)3(????????321????J则若有一个二重根,????????311???????????3111???或?J则若仅一个三重根,,????????111???????????1111???.11111???????????或除约当子块位置可.,唯一调整外J,21?????????J否则为?J或????????????????1的三个特征值经计算可知矩阵例如???????????210034011,,2321??????.相似的约当形此即为与A此时存在矩阵???????????132012001P使得问题:(1)何时约当形矩阵为对角矩阵?(对角化)(2) 当A与对角矩阵相似, 相似变换矩阵是什么???????????2000100111APP?????????????????nnnppppppA??????212121,,,,,,证明,,1为对角阵使假设存在可逆阵???APPP??.,,,21npppPP??用其列向量表示为把3 ??.,,,2211nnppp?????,,1PΛAPΛAPP???得由即所以??nnppp???,,,2211??????nnApApAppppA,,,,,,2121???条件是与对角矩阵相似的充要阶矩阵An定理3??.,,2,1nipApiii????于是有的就是的列向量而的特征值是可见ApPAii,?所以可逆又由于,?记作个线性无关特征向量有设反之,,nA.),,,(21npppP?????使得那么存在相应的特征值即),,,(2211nnppp?????),,,(),,,(2121nnApApAppppA???可逆线性无关知由Pppn,,1?.,,,21线性无关nppp?个的为因此nApppn,,,21?.线性无关特征向量.,,1npp?命题得证.????nppAAPp,,,21?且???????????????nnppp?????2121,,,??nnppp???,,,2211?