数学建模之洗盘子模型.doc

数学建模之洗盘子模型.doc:..洗盘&橫型摘要木文针对一盆固定容积的水可以在一定的温度下洗多少个盘子建立数学模型求解。结合盘子、水、空气这三个因素建立出针对一般情况下的数学模型,然后将题目中的数据带入模型最终求解出所洗盘子的个数。利用能暈转换与守恒定理求解出热水在空气中的对流热能损失ecH辐射热能损失率石,根据水的开始温度与最终温度的变化情况并结合空气中的温度变化情况建立微分方程(&1与&2),但是该方程的求解中,盘子的个数是离散的,具该问题有离散性,最终用离散函数求解岀在在A/内洗的盘子个数。关键词:能量转换与守恒 离散函数一、提出问题洗盘子模型饭后总有一大堆油腻的盘子需要清洗,为洗这些盘子,你准备了一大盘热的肥皂水,热水的温度是能够洗掉盘子上的的油腻而不烫手。随着洗涤过程的继续,盆中的水逐渐冷下来,一直到无法再洗这些盘子,,盆水水重15KG,盆内初始温度为60摄氏度,最终无法洗涤的温度是40摄氏度,,空气的温度是20摄氏度,试建模分析使用这盆热水可以洗多少盘子?二、问题假设1) 假设每洗一只盘子,将其放入水屮后,通过时间At均可以清洗完毕,取出晾干2)假设每个盘子的初始温度均为气温(即空气的温度保持不变)3) 假设盆子不参与任何热交换,人的手不参加热交换(即不影响水温)4) 假设盆中的水量不变;5) 假设洗涤净的洗涤效果与油腻程度无关。三、定义参数变量及已知条件说明1) 盘子的个数为n2) (已知);3) 空气温度Ti=20°C(己知);批注[雨林木风1]:此类符号帀•新编辑4) 水的温度Tw;5) 水的初始温度F/°)=60°C6) 水的最终温度T^40°C;7) 水的质量M・=15kg;8) 水的表面积A=;9) 水与空气的热交换系数h;10) 盘子的比热容QP;11) 水的比热容四、模型的构建与求解批注[雨林木风2]:网上引用的东西朿新编辑耳文荒主体风格相差太远。利用能量转换与守恒定律,当质量为m的物体所含的热量为Q二CRT,(其中C是构成物质材料的特性参数,T是物体热力学温度)。可以得到了;在一个时段的水温,叱与哥是对流能暈与辐射热暈,则可以建立以下模型:若不考虑盘子,仅考虑水的自然冷却,则有关话E&的模型如下:辐射热能损失率色=妙4(芒一昭 ()式屮:血是史蒂芬-波尔兹曼系数,龙是有效表面辐射率的量度(黑体的"k而水的"0_95)。若将兀何看成连续变量,则对于水的自然冷却,由方程()和()得到微分方程式中:t是从初始状态匸0开始计时的时间,可以解得兀")。若用离散函数心(“)来描述几工表示从初始状态开始计的时段川的数目。这样转换为差分方程轧4[匚(1>十1)弋(11)]*[匚(11)迅]血就1:(11)工用也可以写出不同的形式。显然,就这个问题而言,本身就具有“离散性”,需逐个洗盘子,每个盘子花费一段时间因此,最好选择离散化的描述形式。若将洗盘子的过程想象为把一只盘子浸入水中,使其温度从坊瞬间增至兀,那么对于M中的其余时间,可以不必考虑水向盘子的热转换,以简化模型。五、模型求解对于上式求解的难点在于辐射和对流损耗中含有T4项。关于数的数量级比较,我们对辐射