浅谈数学归纳法的应用.doc

浅谈数学归纳法的应用.doc:..浅谈数学归纳法的应用14数本2班潘雷摘要:数学归纳法是中学教学中一种基本的数学方法,在解决数学问题中冇着非常广泛的应用。本文简单介绍了数学归纳法的步骤,它集归纳,猜想,证明与一体,掌握这种方法有利于提高对数学的解题能力。关键词:数学归纳法,步骤t4 2k+3X1— nr= (2k+l)~」 2k+l即当n二k+1时命题成立,综合(1)、(2),即命题成立。(9Y9Y9、推论1求证l-j-三1-三…I4A25A64丿1- 92+3〃(3—1)2 2(1-3司・数学归纳法是数学屮一种重要而独特的证明方法,对与自然数n有关的命题的证明是行Z有效的。首先它的两个步骤缺一不可,其次它的应用非常广泛,可以用它解决好多方面的数学问题。数学归纳法的步骤:(1)当n二1时,这个命题是正确的(2)假设当n二k时,这个命题是止确的,那么当n=k+l时,这个命题也是正确的。笔者最近发现可以用数学归纳法证明一类与自然数n有关的问题,现举例说明。一、用数学归纳法证明恒等式问题证明:(1)当n二1吋,命题成立。(2)假设n二k吋命题成立,即(oVaVgA1——1——1——...1-I4丿例1、r4)r4)(_4)•1——1—1-1U19丿V25丿求证_2/1+1~l-2n°(4、r4)C4、「 4 _1——111丿19丿1 25J1(2-1广证明:(1)当时,命题显然成立。(2)假设当n二k时命题成立,即-4)<4)r4)则当n=k+l时,1——k1>1——19丿11 25丿2k+l1—2L「1 4 _4_(2£+1)[2/c+ll-2k<25A=2+3R"2(1_3)64丿则当n=k+l时,1一匚1一》22)八4A1- 964丿2+3E(312)2 2(1-3/:)一(3£+2)[2+3(£+1)2[1_3(R+1)]。_(3£_l)(3£+5)_"2(1-3綁3£+2厂即当n=k+l吋命题成立,(2),即命题成立。推论2求证1-k2FT?综合(1)>kn^k-l(nk—1)~(k—1)(1—kn)证明:(1)当nJ吋,命题显然成立。(2)假设当zm时,命题成立,即k2_km+k-\(tnk-1)(k—1X1-km)'则当n=m+l时,2(mk+k-l)2km+k-\L k~_(k-1)(1-km){inkH-Zc-l)2(km+k-1)[(腻+R_I)?_诃_{k-\^mk+R-1),(1-km){mk—1\mk+2k—\) _km+2k-\(k-\\mk+k—1)(1—Ian)(k-1X^-km—k)即当n二m+1吋命题成立,综合(1)、(2),即命题成立。在中学的解题过程中,时常会遇到一些题目:对带自然数n的恒等式进行证明。这类命题一般都比较难,需要很高的思维能力才能从正面解决这类问题,往往很多学生对这类命题是无从F手的,此时数学归纳法就成了一种很好的方法。对于证明恒等的问题,在由证等式也成立时,应及时把结论和推导过程对比,也就是我们通常所说的两边凑的方法,以减小计算的复朵程度,从而发现所要证的式子,、用数学归纳法证明整除问题例2、是否存在正整数m,使得f(n)二褊個自然馥n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由。