奇数与偶数及奇偶性的应用.doc

奇数与偶数及奇偶性的应用一、,不能被2整除的数叫做奇数。偶数通常可以用2k(k为整数)表示,奇数则可以用2k+1(k为整数)表示。特别注意,因为0能被2整除,所以0是偶数。:偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数。性质2:偶数±奇数=奇数。性质3:偶数个奇数相加得偶数。性质4:奇数个奇数相加得奇数。性质5:偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数。二、例题利用奇数与偶数的这些性质,+2+3+…+1993的和是奇数?还是偶数?分析此题可以利用高斯求和公式直接求出和,再判别和是奇数,、偶个数考虑,利用奇偶数的性质,。解法1:∵1+2+3+…+1993又∵997和1993是奇数,奇数×奇数=奇数,∴原式的和是奇数。解法2:∵1993÷2=996…1,∴1~1993的自然数中,有996个偶数,有997个奇数。∵996个偶数之和一定是偶数,又∵奇数个奇数之和是奇数,∴997个奇数之和是奇数。因为,偶数+奇数=奇数,所以原式之和一定是奇数。例2一个数分别与另外两个相邻奇数相乘,所得的两个积相差150,这个数是多少?解法1:∵相邻两个奇数相差2,∴150是这个要求数的2倍。∴这个数是150÷2=75。解法2:设这个数为x,设相邻的两个奇数为2a+1,2a-1(a≥1).则有(2a+1)x-(2a-1)x=150,2ax+x-2ax+x=150,2x=150,x=75。∴这个要求的数是75。例3元旦前夕,,那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数,还是偶数?为什么?,因此与总人数无关。解:由于是两人互送贺年卡,,所以贺年卡的总张数应是偶数。送贺年卡的人可以分为两种:一种是送出了偶数张贺年卡的人:他们送出贺年卡总和为偶数。另一种是送出了奇数张贺年卡的人:他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数-偶数=偶数。他们的总人数必须是偶数,才使他们送出的贺年卡总数为偶数。所以,送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。例4已知a、b、c中有一个是5,一个是6,-1,b-2,c-3的乘积一定是偶数。证明:∵a、b、c中有两个奇数、一个偶数,∴a、c中至少有一个是奇数,∴a-1,c-3中至少有一个是偶数。又∵偶数×整数=偶数,∴(a-1)×(b-2)×(c-3)是偶数。。则有a+a′=b+b′=c+c′=9,因为9不会是进位后得到的又因为a′、b′、c′是a、b、c调换顺序得到的,所以a+b+c=a′+b′+c′。因此,又有(a+a′)+(b+b′)+(c+c′)=9+9+9,即2(a+b+c)=3×9。可见:等式左边是偶数,等式的右边(3×9=27)≠,,此假设“原数与新数之和为999”是错误的,命题得证。,再利用假设说法和其他性质进行分析推理,最后得到一个不可能成立的结论,“反证法”。例6用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组:a×b×c×d-a=1991a×b×c×d-b=1993a×b×c×d-c=1995a×b×c×d-d=1997试说明:符合条件的整数a、b、c、d是否存在。解:由原题等式组可知:a(bcd-1)=1991,b(acd-1)=1993,c(abd-1)=1995,d(abc-1)=1997。∵1991、1993、1995、1997均为奇数,且只有奇数×奇数=奇数,∴a、b、c、d分别为奇数。∴a×b×c×d=奇数。∴a、b、c、d的乘积分别减去a、b、c、d后,。∴不存在满足题设等式组的整数a、b、c、d。例7桌上有9只杯子,全部口朝上,每次将其中6只同时“翻转”.请说明:无论经过多少次这样的“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。解:要使一只杯子口朝下,必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下,必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”,按规定每次翻转6只杯子,无论经过多少次“翻转”,“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。例8假设n盏有拉线开关的灯亮着