异面直线所成角问题.doc

异面直线所成角问题异面直线所成角问题1.[2016·全面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( ).[解析]A 在正方体ABCD­A1B1C1D1外依次再作两个一样的正方体,如图所示,易知AE∥B1D1,AF∥CD1,所以平面AEF∥平面CB1D1,即平面AEF就是过点A的平面α,所以AE为平面α与平面ABCD的交线,即为m,AF为平面α与平面ABB1A1的交线,即为n,所以m,n所成角即为AE与AF所成角,也是B1D1与CD1所成角,为∠△CD1B1为等边三角形,因此∠CD1B1=,所以sin∠CD1B1=.­A1B1C1的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,底面边长为2,高为,M是AB的中点,:45°; [解析]如图所示,取A1B1的中点N,连接C1N,MN,则C1N∥CM,所以∠BC1N即为异面直线CM与BC1所成的角,由题意易得C1N=,BN=,BC1=,所以三角形BNC1为等腰直角三角形,则∠BC1N=45°.3.[2015·浙江卷]如图所示,在三棱锥A­BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,: ;[解析]连接ND,取ND的中点为E,则ME∥AN,则异面直线AN,CM所成的角为∠=ND=MC==2,所以ME=,CE==,则cos∠EMC===.4.[2016·湖南衡阳一模]如图所示,在底面为正方形的四棱锥P­ABCD中,PA=PB=PC=PD=AB=2,点E为棱PA的中点,:;取AD的中点F,连接EF,,所以EF∥PD,EF=PD=,所以BE=.因为四边形ABCD为正方形,所以BF===,所以在三角形BEF中,由余弦定理得cos∠BEF==-,.[2016·湖南郴州摸底]如图所示,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,E是线段B1C1上的动点,则异面直线AE与D1C所成的角为( )°°°°答案:D;[解析](1)连接AB1,AC1.∵CD1⊥B1C1,CD1⊥AB1,AB1∩B1C1=B1,∴CD1⊥平面AB1C1.∵AE⊂平面AB1C1,∴AE⊥D1C,∴异面直线AE与D1C所成的角为90°.6.[2016·长春四模]六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,且侧棱长等于底面边长,:;[解析]连接AF1,EF1.∵CB1∥EF1,∴∠=1,则AF1=EF1=,AE2=1+1-2×1×1×cos120°=3,即AE=,∴cos∠AEF1===,∴.[2016·海南文昌中学期末]如图所示,已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若AB=2,CD=4,EF⊥AB,:30°; [解析]取AD的中点G,连接FG,EG,又E,F分别为AC,BD的中点,所以FG∥AB,且FG=1,EG∥CD,且EG=2,所以EF与CD所成的角即为EF与EG所成的角,即∠FEG,又EF⊥AB,即∠EFG=90°,所以∠FEG=30°.8.[2016·衡水中学六调]如图所示,在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为正方形,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成的角的余弦值为( ):D ;[解析]连接BC1,A1C1,则BC1∥AD1,∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角,记AB=1,则A1B=BC1=,A1C1=,在三角形A1BC1中,由余弦定理得cos∠A1BC1==,.[2016·浙江五校二联]如图所示,在边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,沿BD将△ABD翻折,得到三棱锥A­BCD,则当三棱锥A­BCD的体积最大时,异面直线AD与BC所成的角的余弦值为( ):B; [解析]在平面BCD内过D作DE∥BC且DE=BC,则∠ADE即为异面直线AD与BC所成的角或其补角,连接BE,AE,设BD的中点为O,连接AO,EO,当三棱锥A­BCD的体积最大时,平面ABD⊥平面BCD,所以A