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异面直线所成角问题
1． [2016 全·面 α过正方体 ABCD - A B C D
的顶点
A， α∥平面 CB D
，α∩平面
1
1
1
1
1
1
ABCD ＝m
A ． 30° B． 45° C． 60° D ． 90°
答案： D； [解析 ] (1) 连接 AB1， AC1 .
∵CD 1⊥ B1C1， CD 1⊥AB1， AB1∩ B1C1＝B1，
∴CD 1⊥平面 AB1C1.
∵AE ? 平面 AB1C1，∴ AE⊥ D1C，∴异面直线 AE 与 D1 C 所成的角为 90°.
6.[2016 长·春四模 ] 六棱柱 ABCDEF -A1B1C1D1E1F 1 的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，且
侧棱长等于底面边长，则直线
AE 与 CB1
所成角的余弦值为 ________．
答案：
6；[ 解析 ] 连接 AF1
11
1
1
是异面直线
1
所成的角．
4
，EF .∵CB ∥ EF ，∴∠ AEF
AE与CB
设 AB＝1，则 AF1＝ EF1＝ 2，
AE2＝ 1＋ 1－ 2× 1×1× cos 120°＝ 3，即 AE＝
3，
2
2
2
6，
∴cos∠ AEF 1＝ AE
＋EF1－ AF1＝
3＋ 2－2
＝
2AE· EF1
2×3×2
4
∴直线 AE 与 CB1 所成角的余弦值为
6
.
4
7． [2016 ·南文昌中学期末海
] 如图所示，已知在四面体
ABCD 中， E，F 分别是 AC，BD 的
中点，若 AB ＝ 2，CD ＝ 4，EF ⊥AB ，则 EF 与 CD 所成角的大小为 ________．
— 2
精选文库
答案： 30°； [解析 ] 取 AD 的中点 G，连接 FG，EG，又 E，F 分别为 AC ，BD 的中点，所以 FG∥AB ，且 FG＝ 1，EG∥ CD ，且 EG＝ 2，所以 EF 与 CD 所成的角即为 EF 与 EG 所成的角，即∠ FEG，又 EF⊥ AB ，即∠ EFG ＝ 90°，所以∠ FEG＝ 30° .
8． [2016 ·水中学六调衡
]
如图所示，在直四棱柱 ABCD -A B C
D
中，底面四边形
ABCD 为
1
1
1
1
正方形， AA1＝ 2AB，则异面直线 A1B 与 AD 1 所成的角的余弦值为 ()
1
2
3
4
A. 5


D. 5
答案： D
；[解析 ] 连接 BC1， A1C1，则 BC
1∥ AD