高中数学知识点总结 不等式的性质与证明.doc

高中数学知识点总结_不等式的性质与证明,具体的:当a>0,b>0时,a>ban>bn;当a<0,b<0时,a>ba2<b2;a2>b2|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数,但不等号的方向要改变,如:由<2推得的应该是:x>或x<0,而由>2推得的应该是:0<x<(别漏了“0<x”)等。[举例]若=,则的值域为;的值域为。解析:此题可以“逆求”:分别用g(x)、h(x)表示f(x),解不等式f(x)>0即可。以下用“取倒数”求:3-f(x)<3,分两段取倒数即0<3-f(x)<3得>或3-f(x)<0得<0,∴g(x)∈(-,0)∪(,+);f(x)+3>30<<1<h(x)<。[巩固1]若,则下列不等式①;②③;④中,正确的不等式有() [巩固2]下列命题:①若a>b,则ac2>bc2;②若ac2>bc2,则a>b;③若a>b,c>d则a-d>b-c;④若a>b,则a3>b3;⑤若a>b,则⑥若a<b<0,则a2>ab>b2;⑦若a<b<0,则|a|>|b|;⑧若a<b<0,则;⑨若a>b且,则a>0,b<0;⑩若c>a>b>0,则;其中正确的命题是。[迁移]若a>b>c且a+b+c=0,则:①a2>ab,②b2>bc,③bc<c2,④的取值范围是:(-,1),⑤的取值范围是:(-2,-)。上述结论中正确的是。“传递性”一般只用于证明不等式,用它们求变量范围时要求两个不等式中的等号能同时成立。同向不等式一般不能相乘,需增加“两不等式的两边均为正数”才可相乘。[举例]已知函数,且满足-2≤f(1)≤-1,2≤f(2)≤3,则f(3)的取值范围是: 。解析:解决本题的一个经典错误如下:-2≤a+c≤-1①;2≤4a+c≤3②由①得:1≤-a-c≤2③4≤-4a-4c≤8④由③+②得:1≤a≤⑤由④+②得:≤c≤-2⑥由⑤×9+⑥得:≤9a+c≤13⑦,即≤f(3)≤13。错误的原因在于:当且仅当1=-a-c且2=4a+c时⑤式中的1=a成立,此时,a=1,c=-2;当且仅当-4a-4c=8且4a+c=3时⑥式中的=c成立,此时,a=,c=;可见⑤⑥两式不可能同时成立,所以⑦中的=9a+c不成立;同理,9a+c=13也不成立。正解是待定系数得f(3)=f(1)+f(2),又:≤f(1)≤;≤f(2)≤8∴7≤f(3)≤。在此过程中虽然也用了“同向不等式相加”,但由错解分析知:当a=1,c=-2时,不等式≤f(1)和≤f(2)中的等号同时成立,即f(3)=7成立;而当a=,c=时,不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等号同时成立,即f(3)=成立;所以这个解法是没有问题的。可见,在求变量范围时也并非绝对不能用“同向不等式相加”,只要“等号”能同时成立即可;对不含等号的同向不等式相加时则需它们能同时“接近”。注:本题还可以用“线性规划”求解:在约束条件-2≤f(1)≤-1,2≤f(2)≤3下求目标函数f(3)的最大、最小值。[巩固]设正实数a、b、c、x、y,且a、b、c为常数,x、y为变量,若x+y=c,则+的最大值是:||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等号成立的条件;具体的:xy≥0|x+y|=|x|+|y|;xy≥0且|x|