匈牙利算法求二分图最大匹配..doc

什么是二分图,什么是二分图的最大匹配,这些定义我就不讲了,网上随便都找得到。二分图的最大匹配有两种求法,第一种是最大流(我在此假设读者已有网络流的知识);第二种就是我现在要讲的匈牙利算法。这个算法说白了就是最大流的算法,但是它跟据二分图匹配这个问题的特点,把最大流算法做了简化,提高了效率。匈牙利算法其实很简单,但是网上搜不到什么说得清楚的文章。所以我决定要写一下。最大流算法的核心问题就是找增广路径(augmentpath)。匈牙利算法也不例外,它的基本模式就是:初始时最大匹配为空while找得到增广路径   do把增广路径加入到最大匹配中去可见和最大流算法是一样的。但是这里的增广路径就有它一定的特殊性,下面我来分析一下。(注:匈牙利算法虽然根本上是最大流算法,但是它不需要建网络模型,所以图中不再需要源点和汇点,仅仅是一个二分图。每条边也不需要有方向。)图1图2图1是我给出的二分图中的一个匹配:[1,5]和[2,6]。图2就是在这个匹配的基础上找到的一条增广路径:3->6->2->5->1->4。我们借由它来描述一下二分图中的增广路径的性质:(1)有奇数条边。(2)起点在二分图的左半边,终点在右半边。(3)路径上的点一定是一个在左半边,一个在右半边,交替出现。(其实二分图的性质就决定了这一点,因为二分图同一边的点之间没有边相连,不要忘记哦。)(4)整条路径上没有重复的点。(5)起点和终点都是目前还没有配对的点,而其它所有点都是已经配好对的。(如图1、图2所示,[1,5]和[2,6]在图1中是两对已经配好对的点;而起点3和终点4目前还没有与其它点配对。)(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中,所有第偶数条边都出现在原匹配中。(如图1、图2所示,原有的匹配是[1,5]和[2,6],这两条配匹的边在图2给出的增广路径中分边是第2和第4条边。而增广路径的第1、3、5条边都没有出现在图1给出的匹配中。)(7)最后,也是最重要的一条,把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去,并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除(这个操作称为增广路径的取反),则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。(如图2所示,新的匹配就是所有蓝色的边,而所有红色的边则从原匹配中删除。则新的匹配数为3。)不难想通,在最初始时,还没有任何匹配时,图1中的两条灰色的边本身也是增广路径。因此在这张二分图中寻找最大配匹的过程可能如下:(1)找到增广路径1->5,把它取反,则匹配数增加到1。(2)找到增广路径2->6,把它取反,则匹配数增加到2。(3)找到增广路径3->6->2->5->1->4,把它取反,则匹配数增加到3。(4)再也找不到增广路径,结束。当然,这只是一种可能的流程。也可能有别的找增广路径的顺序,或者找到不同的增广路径,最终的匹配方案也可能不一样。但是最大匹配数一定都是相同的。对于增广路径还可以用一个递归的方法来描述。这个描述不一定最准确,但是它揭示了寻找增广路径的一般方法:“从点A出发的增广路径”一定首先连向一个在原匹配中没有与点A配对的点B。如果点B在原匹配中没有与任何点配对,则它就是这条增广路径的终点;反之,如果点B已与点C配对,那么这条增广路径就是从A到B,再从B到C,再加上“从点C出发的增广路径”。并且,这条从C出发的增广路径中不能与前半部分的增广路径有重复的点。比如图