点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用答案.doc

点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用答案平面几何培训专题----《点共线》,《线共点》:通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。例1如图,设线段AB的中点为C,以AC和CB为对角线作平行四边形AECD,BFCG。又作平行四边形CFHD,CGKE。求证:H,C,K三点共线。例2如图所示,菱形ABCD中,∠A=120°,O为△ABC外接圆,M为其上一点,连接MC交AB于E,AM交CB延长线于F。求证:D,E,F三点共线。例3四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E,F。求证:P,E,F三点共线。例4以圆O外一点P,引圆的两条切线PA,PB,A,B为切点。割线PCD交圆O于C,D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点,求证:A,F,E三点共线。(如三角形的3条高线交于一点),或证明第3条直线通过另外两条直线的交点,也可转化成点共线的问题给予证明。例5以△ABC的两边AB,AC向外作正方形ABDE,ACFG。△ABC的高为AH。求证:AH,BF,CD交于一点。例6设P为△ABC内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC。又设D,E分别是△APB及△APC的内心。证明:AP,BD,CE交于一点。例7O1与O2外切于P点,QR为两圆的公切线,其中Q,R分别为O1,O2上的切点,过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的直线交于点I,IN垂直于O1O2,垂足为N,IN与QR交于点M。证明:PM,RO1,QO2三条直线交于一点。、梅涅劳斯定理及其应用定理1(塞瓦(Ceva)定理):设P,Q,R分别是△ABC的BC,CA,AB边上的点。若AP,BQ,CR相交于一点M,则。证如图,由三角形面积的性质,有,,.以上三式相乘,(定理1的逆定理):设P,Q,R分别是△ABC的BC,CA,AB上的点。若,则AP,BQ,CR交于一点。证如图,设AP与BQ交于M,连CM,交AB于R’。,’与R重合,故AP,BQ,CR交于一点。定理3(梅涅劳斯(Menelaus)定理):一条不经过△ABC任一顶点的直线和三角形三边BC,CA,AB(或它们的延长线)分别交于P,Q,R,则证如图,由三角形面积的性质,有,,.将以上三式相乘,(定理3的逆定理):设P,Q,R分别是△ABC的三边BC,CA,AB或它们延长线上的3点。若,则P,Q,R三点共线。定理4与定理2的证明方法类似。例8如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G。求证:∠GAC=∠EAC。证如图,连接BD交AC于H,过点C作AB的平行线交AG的延长线于I,过点C作AD的平行线交AE的延长线于J。对△BCD用塞瓦定理,可得①因为AH是∠BAD的角平分线,由角平分线定理知。代入①式得②因为CI∥AB,CJ∥AD,则,。代入②=CJ。又由于∠ACI=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠ACJ,所以△ACI≌△ACJ,故∠IAC=∠JAC,即∠GAC=∠,E是AB上的一点,F为CD上的一点。AF交ED于G,EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L,交BC于M。求证:DL=BM..例10在直线l的一侧画一个半圆T,C,D是T上的两点,T上过C和D的切线分别交l于B和A,半圆的圆心在线段BA上,E是线段AC和BD的交点,F是l上的点,EF垂直l。求证:EF平分∠CFD。例11如图,四边形ABCD内接于圆,AB,DC延长线交于E,AD、BC延长线交于F,P为圆上任意一点,PE,PF分别交圆于R,:R,T,S三点共线。先证两个引理。引理1:A1B1C1D1E1F1为圆内接六边形,若A1D1,B1E1,C1F1交于一点,,设A1D1,B1E1,C1F1交于点O,根据圆内接多边形的性质易知OA1B1∽△OE1D1,△OB1C1∽△OF1E1,△OC1D1∽△OA1F1,从而有,,.将上面三式相乘即得,引理2:圆内接六边形A1B1C1D1E1F1,若满足则其三条对角线A1D1,B1E1,C1F1交于一点。该引理与定理2的证明方法类似,留给读者。例11之证明如图,连接PD,AS,RC,BR,AP,△EBR∽△EPA,△FDS∽△FPA,知,.两式相乘,得.①又由△ECR∽△EPD,△FPD∽△FAS,知,.两式相乘,得②