高考文科数学中的内切球和外接球问题专题试.doc

高考文科数学中的内切球和外接球问题专题试————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 内切球和外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,,是立体几何的一个重点,,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1(2006年广东高考题)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,:要求球的表面积,,所以它的体对角线正好为球的直径,因此,求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长,,若该正方体的表面积为,:要求球的体积,还是先得求出球的半径,而球的直径正好是正方体的体对角线,因此,由正方体表面积可求出棱长,、求长方体的外接球的有关问题例3(2007年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为,:关键是求出球的半径,因为长方体内接于球,所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为,、(2006年全国卷I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为().:正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,因此,长方体的长、宽、高分别为2,2,4,于是等同于例3,,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,,高为,则有∴正六棱柱的底面圆的半径,球心到底面的距离.∴外接球的半径..小结本题是运用公式求球的半径的,、构造法(补形法)1、构造正方体例5(2008年福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为,:此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后再设出球心,,我们更想使用较为便捷的方法,所以三条侧棱两两垂直,使我们很快联想到长方体的一个角,马上构造长方体,且侧棱长均相等,所以可构造正方体模型,如图1,则,那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线,故所求表面积是.(如图1)例3若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体,,则有.∴.,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,,“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为,则体对角线长为,几何体的外接球直径为体对角线长即【例题】:在四面体中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。解:因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以:四面体外接球的直径为的长即:所以球的表面积为图1例6(2003年全国卷)一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为():一般解法,需设出球心,作出高线,构造直角三角形,,由于所有棱长都相等,我们联想只有正方体中有这么多相等的线段,所以构造一个正方体,再寻找棱长相等的四面体,如图2,四面体满足条件,即,由此可求得正方体的棱长为1,体对角线为,从而外接球的直径也为,所以此球的表面积便可求得,故选A.(如图2)例7(2006年山东高考题)在等腰梯形中,,,为的中点,将与分布沿、向上折起,使重合于点,则三棱锥的外接球的体积为().:(如图3)因为,,所以,即三棱锥为正四面体,至此,这与例6就完全相同了,(2008年浙江高考题)已知球的面上四点A、B、C、D,,,